Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны




Скачать 98,26 Kb.
НазваниеЕсли две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Дата публикации02.09.2013
Размер98,26 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Военное дело > Документы
Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180о.
Следствия:
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Если угол не развёрнутый, то его градусная мера меньше 180о.
Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.


Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.

Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Теорема 3.1 (Первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.2 (Второй признак равенства треугольников). ^ Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.3 (Свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 3.4 (Признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема 3.5 (Свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 3.6 (Третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Теорема 4.2 (Признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180о, то прямые параллельны.

Теорема 4.3 (Обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180о.

Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180о.
Следствие: У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Следствие: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.

Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Следствия:
-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
-cosA < 1 для любого острого угла А.
-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.


Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). ^ Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.

Теорема 7.4. Для любого острого угла А.
                    sin(90
o-A) = cosA, cos(90o-A) = sinA.

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство
                     
http://vadim-soft.narod.ru/conspects/math/geomtheor003.gif

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора clip_image002.gif (196 bytes) равна http://vadim-soft.narod.ru/conspects/math/geomtheor006.gif. Направление вектора geomtheor004.gif (196 bytes)при http://vadim-soft.narod.ru/conspects/math/geomtheor008.gif совпадает с направлением вектора http://vadim-soft.narod.ru/conspects/math/geomtheor010.gif, если l> 0, и противоположно направлению вектора http://vadim-soft.narod.ru/conspects/math/geomtheor010.gif, если l< 0.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Следствия:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Теорема 11.2 (Признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема 11.3 (Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). ^ Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Теорема 11.4 (Признак подобия треугольников по трём сторонам). Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Следствия:
-Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.
-Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.


Теорема 12.1 (Теорема косинусов). ^ Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема 12.2 (Теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 1800(n – 2).

Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Теорема 13.4. Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Теорема 13.5. Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых двух окружностей.

Теорема 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Следствие: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.

Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема 17.5. Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Теорема 17.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 18.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Теорема 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Следствие: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.

Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема 17.5. Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Теорема 17.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 18.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Похожие:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconУрок геометрии по теме «Сумма углов треугольника»
С помощью умк «Живая математика» (чертеж №1) на экране изображается треугольник с острыми углами и дается определение остроугольного...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconОбъединение локальных вычислительных сетей. Внешние средства передачи данных
Для объединения различных лвс в одну необходимо, во-первых, наличие физической связи между ними, а во-вторых, наличие условий для...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconСказка об обыкновенных дробях
Жили-были две дроби соседки с разными знаменателями. Одна была с добрым, мягким знаменателем, а другая – с вредным. Никак они не...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconКонтрольная работа №3 по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника»
Контрольная работа №3 по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника» (9 класс)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconВторое начало термодинамики и эволюция: есть ли между ними противоречие?
Соответственно, если мы имеем противоречивые описания природы, то, по меньшей мере в одном из анализируемых описаний содержится логическая...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconРешение. Из теоремы косинусов
Докажите, что если котангенсы углов треугольника образуют арифметическую прогрессию, то и квадраты сторон этого треугольника образуют...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны icon1. предмет и методы геополитики
В классической геополитике взаимоотношения между людьми носили линейный характер (2 участвующих лица и канал между ними). Постклассич-ая...
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconСумма углов треугольника Цели урока
Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о сумме углов треугольника
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconТематический план по геометрии, 9 класс
Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны iconТеорема о сумме углов треугольника.( 7 класс )
Задачи: образовательная: научить учащихся применять на конкретных примерах свойство суммы внутренних углов треугольника
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница