Онтология математики объекты и структуры




Скачать 181,69 Kb.
НазваниеОнтология математики объекты и структуры
страница1/3
Дата публикации07.08.2013
Размер181,69 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Целищев В.В.

ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ ОБЪЕКТЫ И СТРУКТУРЫ
Источник сканирования: Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. — Новосибирск: Нонпарель, 2003. 240 стр. ISBN 5-93089-020-Х. УДК 140.8 ББК 87. — предисловие (с.2–11; 0002.bmp–0006.bmp), небольшой фрагмент гл.5 (сетка Эддингтона: (с. 213–217), литература и оглавление (с. 234–240; 0120.bmp – 0123.bmp).
См. отсканированные файлы книги в

http://www.philosophy.ru/library/philmath/tselischev1/ (0001.bmp — 0123.bmp)

http://katrechko.narod.ru/library/philmath/tselishchev1/ (0001.bmp — 0123.bmp)
В монографии отражены исследования в области философии математики, важные для понимания природы абстрактных объектов математики, в частности, природы натуральных чисел и множеств. В центре внимания работы находятся понятия существования математического объекта и структуры. Значительная часть книги посвящена исследованиям последнего десятка лет. Книга предназначена всем, интересующимся философией математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................. 3
Глава 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ ..................................................... 9

1. Математический платонизм ....................................................................... 9

2. Существование и определенные дескрипции........................................ 20

3. Критерий Куайна и онтологическая редукция........................................26

4. Объекты и структуры................................................................................ 36

5. Онтологическая относительность...........................................................39

6. Платонизм и частичная теория указания.................................................44

7. Общие термины как знаки для чисел ...................................................... 50

8. Логика без онтологии................................................................................ 52
Глава 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ...............................................................60

1. Понятие абстрактного объекга.................................................................60

2. Восприятие абстрактных объектов.......................................................... 67

3. Постулирование абстрактных объектов.................................................. 71

4. Расширение понимания платонизма........................................................ 74

5. Полнокровный платонизм........................................................................ 77

6. Принцип свертывания для абстрактных объектов ................................. 82

7. Метод абстракции..................................................................................... 87

8. Природа абстракции................................................................................. 94

9. Абстрактные объекты и подстановочная интерпретация ...................... 99
Глава 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕДУКЦИИ .... 106

1. Неединственность редукции в метафизике и семантике..................... 106

2. Математическая [фактика и проблема неединственности....................112

3. Логика второю порядка как основание математики .............................118

4. Теория чисел Фреге: числа как объекты................................................ 126

5. Онтологические допущения арифметики и нумерические кванторы .... 136
Глава 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ........................................................ 146

1. Структурность абстрактных объектов................................................... 146

2. Понятие структуры в философии математики...................................... 153

3. Структура натуральных чисел................................................................ 161

4. Ante rein структуры................................................................................. 168

5. Элиминативный структурализм............................................................. 1 77

6. Фоновая онтология................................................................................. 182

7. Дедуктивизм............................................................................................ 184

8. Дистрибутивные нормальные формы как числовые структуры.......... 1 88

9. Математика как модальная логика......................................................... 197

10. Модальный элиминативизм........,.............
Глава 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ....................................................213

1. Идеология versus онтология...................................................................213

2. Значение матемагических терминов......................................................217

3. Необходимое существование чисел.......................................................220

4. Неологицизм............................................................................................ 229
ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................234

…человек многие тысячелетия жил не замечая, что в окружающей его природе есть числа. Миллиарды чисел. Однажды утром случайно, как цветок в траве, нашел он свое первое число. Как первую улыбку. Он открыл это первое число с таким трудом, с каким открыл свое будущее. Но для того, чтобы добраться до следующего числа, ему потребовалось несколько тысячелетий, то есть, больше, чем нужно, чтобы открыть послезавтра. В конце концов, он начал приручать и укрощать числа вокруг себя, плодить их, и они множились от его прикосновения и взгляда. Но только для него. Больше ни для кого в мире числа не существовали, ни на земле, ни в земле, ни над землей. Ни для животных, ни для растений. Сначала он думал, что мертвые забывают числа, но как-то раз, глядя на отражения звезд в воде, понял, что числа есть и на небе, причем в несметных количествах. И так же как его предок Адам дал имена животным, человек начал давать имена всем этим бесконечным числам. Однако чисел было так много, что душа человека отступила перед ними. В его душе не осталось ни капли сил как раз тогда, когда должно было начаться укрощение небесных чисел.

Милорад Павич.

^ Последняя любовь в Константинополе.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга задумана как часть вторая моей «Философии математики»1 (1 Целищев В.В. Философия математики. - Новосибирск: Наука, 2002.). Как и в первой части, в ней избегаются «избитые» темы, и смею надеяться, представленный материал в основном будет новым для русскоязычного читателя. Оглавление книги говорит само за себя, и нет смысла предварять основной текст какого-либо рода объяснениями. Однако есть смысл сказать несколько слов о том, какого рода установки преследовал автор при написании книги.

Прежде всего, философия математики есть тесное переплетение философии, или лучше сказать, метафизики и собственно математики. Математика требует точности, а метафизика всегда идет в противоположном направлении. Конфликт неизбежен, и приходится искать такие формы философского анализа, которые не нанесли бы ущерба ни одной из этих практически независимых областей размышления над «высокими материями». Мало кому удавалось успешное преодоление такого конфликта, и такие редкие случаи представляют собой классику философии математики. Приходит на ум, конечно же, основатель аналитической философии Бертран Рассел. Иногда этого мыслителя упрекают в том, что он слишком сузил рамки философии, которая отнюдь не сводится к сайентизму. В хоре подобного рода упреков выделяется математик и философ Майкл Даммит, который «спасает» аналитическую философию от сайентизма, провозгласив одним из ее основателей Э. Гуссерля, утверждая при этом, что «аналитическая философия и феноменологическая школа выросли из одних и тех же корней»2. Больше того, Даммит полагает, что Principia Mathematica, которая инспирировала признание математики в качестве одного из краеугольных камней философии, не является основополагающей работой для аналитической философии. Как замечает П. Хилтон, «такое заключение конечно же неприемлемо. Principia Mathematica ... определенно является парадигмальной работой в аналитической философии и ее развитии»3. Что касается герменевтики и феноменологии, пропагандируемых в качестве лекарства для аналитической философии тем же Даммитом4, то вряд ли с этим согласится кто-либо, кто не страдает, как Даммит, раздвоением «философской личности». В самом деле, несмотря на свое восхищение Г. Фреге, который разделяет с Расселом репутацию основателя аналитической философии, взгляды Даммита в своей последней книге, вышедшей на итальянском языке, противоположны взгляды Фреге. Вообще, Даммит полагает, что философия языка Фреге была правильной, в то время как его философия математика в целом была ошибочной. Закономерной реакцией на принижение роли математики в аналитической философии является высказывание рецензента последней книги Даммита британский философ Д. Джиллис: «Хотя некоторые люди могут быть вдохновлены герменевтикой и феноменологией, я все-таки полагаю, что для продолжения работы в русле аналитической философии следует уделить некоторое время изучению ряда разделов математики и естественных наук... Так что мое предписание философам состоит в том, чтобы они знали те разделы математики и естественных наук, которые имеют философские следствия. Это занятие должно быть использовано не для попыток получить определенные результаты в этих областях..., но скорее для того, чтобы получить новые идеи для развития новых философских теорий»5.
2 Dummett M. The Origins of Analytical Philosophy. - Harvard University Press, 1993 — p ix

3 Hylton P. Review ofDummetts Origins of Analytical Philosophy /I Journal of Philosophy. 1995. - V. xcii, n.10. P.559.

4 Dummett M. La natura e ilfuturo della filosofia. - Geneva, ЛШ.

5 Gillies D. Review of Dummett s La natura e ilfuturo della fllosofia II British Journal for the Philosophy of Science. - 2003. - V. 54. - P. 507.
То обстоятельство, что в основе ряда фундаментальных математических идей лежат философские доктрины, не вызывает никакого удивления, поскольку сама идея бесконечности, центральный пункт всякого математического размышления, является глубоко метафизической концепцией. Еще более показательным примером является проблема существования математических концепций, которой собственно и посвящена в целом данная книга. В ожесточенных спорах между формалистами и интуиционистами по поводу того, что считать существующим, аргументы заимствуются в значительной степени из той же самой метафизики.

Метафизика как таковая не признает окончательных ответов. Привлечение метафизики к обсуждению проблем философии математики обрекает их на ту же участь. Трудно ожидать, что при обсуждении спорных философских вопросов математические выкладки внесут решающий вклад в пользу одной из сторон. Философов еще надо убедить в том, что эти математические результаты действительно важны для философского дискурса. В этом и состоит «посылка принцессы Маргарет», описанная в упоминавшейся выше моей «Философии математики». Больше того, иногда возникает такая ситуация, когда математические аргументы могут быть с обеих сторон столь же убедительными (или, что равносильно в некотором смысле, столь же неубедительными), что предполагаемая их поддержка философских аргументов обесценивается. Примером такой ситуации может служить недавняя интересная работа М. Балагера, симптоматично названная им «Платонизм и антиплатонизм в математике»6. В ней убедительно показано, что математические аргументы в пользу платонизма, несмотря на детальность и многочисленность, столь же убедительны, как и математические аргументы против платонизма. Для описания такой ситуации я предпочитаю эвфемизм «диалектика философского спора», использованный мною в «Философии математики» для описания ситуации со спорами вокруг интерпретации теоремы Левенгейма - Сколема. Незавершенность философских споров, мотивированных математикой проявляется довольно рельефно в том, что давно забытые доктрины переживают второе рождение, как это имеет место с «неологицизмом». Реабилитация классического логицизма Г. Фреге в работах К. Райта и Б. Хейла7, а также других философов, показывает, что аргументы, использованные для вынесения приговора логицизму как устаревшему направлению в
6 Balaguer M. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. - Oxford University Press, 1998.

7 Представительной работой этого направления является книга Wright С. ^ Frege's Conception of Numbers as Objects. - Aberdeen University Press, 1983:
стр.8

ставят перед собой авторы научных книг, является подведение итогов в соответствующей области. В данном случае автор ставил перед собой совсем другую цель. Исследователю очень важно ориентироваться в море публикаций по философии математики, и очень важно дать представление о том, что же обсуждается в современных публикациях. Между тем, полное разнообразие тематики и богатство идей и направлений зачастую ставят в тупик тех людей, знакомство которых с текущим состоянием философии математики не позволяет им судить о значимости тех или иных суждении. Поэтому хотелось бы, чтобы читатель, открывая философский журнал со статьей по философии математики, не был полностью озадачен содержащимся в ней материалом. Именно эта цель и преследовалась в данной книге. Материал, представленный в ней, достаточно разнообразен, и смею заметить, дает некоторое представление о том, что делается в современной философии математики.

====

^ ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Математический платонизм
Классические направления в философии математики — логицизм, интуиционизм и формализм — в значительной степени противостоят платонизму. Тем не менее, многие элементы платонизма разделяются немалым числом философов и логиков, не говоря уже о том, что платонизм является неявной философией работающих математиков. Конфликт между платонизмом и другими направлениями в философии математики прежде всего касается онтологии, то есть, вопросов о том, что существует. Принимая во внимание специфику области, речь идет о том, какого рода объекты полагаются существующими с точки зрения математических теорий. Естественно, что при этом имеется в виду философский взгляд на математику, анализ ее логических посылок и структуры. В последнее время в философии математики особое внимание обращается на то обстоятельство, что философский анализ должен принимать во внимание математическую практику и обыденный математический дискурс вообще.

9
Несмотря на нежелательную ассоциацию с традиционными онтологическими спорами, следует признать, что без онтологии философия математики лишается слишком многого, и осознавая это, видный логик Э. Бет в свое время утверждал2:
Философия математики ...есть онтология математических объектов.
2 Beth Е. Mathematical Thought. - Dordrecht, Reidel, 1965. - P. 176.

3 Cиrrу R Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. -Amsterdam, P. 30-31.

Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. — Новосибирск: Нонпарель, 2003. стр. 213 — 217

^ ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
точки зрения математика исследует определенную категорию необходимых истин, не подверженных ограничениям, которые связаны с контингентным существованием. Это обстоятельство имеет значительное преимущество в том отношении, что нет необходимости постулировать особый мир необходимо существующих сущностей. Дело в том, что Хеллман не верит в существование возможных миров, и не является в этом отношении модальным реалистом. Ф.Чихара таким образом поясняет этот подход к возможным мирам: «Вся структура возможных миров является мифом, полезным для прояснения и объяснения модальных понятий, но миф при этом остается мифом»72. Вопрос об онтологическом статусе возможных миров является вопросом, по своей значимости требующим специального исследования73, а здесь следует отметить интересное противопоставление онтологии системы ее «структурного» антагониста — «идеологии» системы.
72 Chihara Ch. Constructabihty and Mathematical Existence. - Oxford University Press, 1990. - P. 60.

73 См, например: Целищев В.В. Философские проблемы семантики возможных миров. -Новосибирск: Наука, 1977.
212
  1   2   3

Похожие:

Онтология математики объекты и структуры icon1. Философия математики как региональная онтология математического....
Овфм – это вопрос, что такое число? Существует масса различных мнений на этот счет. Достижением философской мысли считается способность...
Онтология математики объекты и структуры iconЭти необычайно изящные структуры не просто математическая забава....
Эти необычайно изящные структуры — не просто математическая забава. Фрактальная геометрия четко описывает сложные природные объекты...
Онтология математики объекты и структуры iconПрограмма экзамена по курсу «Структуры данных и их анализ»
Структуры данных. Понятия структуры данных, элемента структуры, ключа, линейно упорядоченной структуры. Основные операции над структурами....
Онтология математики объекты и структуры iconУрок математики в современной школе План. Урок математики. Основные...
А. Е. Захарова, И. И. Зубарева, Московский городской педагогический университет, 2011 г
Онтология математики объекты и структуры iconРеферат
«Обоснование размера и структуры управления эксплуатирующей (объекты недвижимости сфу) компании», выполняемому в рамках «Программы...
Онтология математики объекты и структуры iconПрограмма к междисциплинарному государственному экзамену по специальности...
Объекты общественного питания. Объекты и средства развлечения. Объекты познавательного, делового, оздоровительного, спортивного и...
Онтология математики объекты и структуры iconБ агина Татьяна Александровна, учитель математики высшей категории,...
Математика, позволяют давать наиважнейшие понятия куpca математики на более высоком уровне, обеспечивающем качественные преимущества...
Онтология математики объекты и структуры iconРешение математических задач с помощью системы компьютерной математики maxima
Кафедра математики сипкро начинает набор на дистанционный курс для учителей математики и информатики
Онтология математики объекты и структуры iconТема «Объекты гражданских прав»
«Нетипичные» объекты недвижимости (асфальтовые площадки, спортивные сооружения, сети, капитальные заборы, незавершенное строительство...
Онтология математики объекты и структуры iconПредмет, объекты и задачи криминалистики
Сущность судебной экспертизы, ее предмет, объекты и основания назначения
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница