Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики»




Скачать 384,51 Kb.
НазваниеПояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики»
страница1/3
Дата публикации16.06.2013
Размер384,51 Kb.
ТипПояснительная записка
pochit.ru > Математика > Пояснительная записка
  1   2   3
МОУ “Средняя общеобразовательная школа п. Свободный”


Математическая логика есть логика

по предмету, математика по методу.
Платон Сергеевич Порецкий,

российский математик


Элементы

математической логики

элективный предметный курс
Составила:

Евстифеева Тамара Владимировна

учитель математики
- 2006 -

Пояснительная записка

Элективный курс «Элементы математической логики» адресован учащимся 9 класса общеобразовательной школы.

Общеизвестно, что умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, экономики и политики. Логика как раз и есть учение о способах рассуждений безотносительно к тому, где и для чего они используются. Элективный курс «Элементы математической логики» предназначен для обучения и тренировки учащихся умению логически мыслить, что способствует успешному усвоению математических знаний, расширению кругозора, развитию интересов и склонностей к математике.

Данный курс относится к ориентационному типу. Его цель - помочь удостовериться в правильности (или неправильности) сделанного выбора профиля обучения.

Теоретический материал, связанный с понятием математической логики, формально выходит за рамки школьной программы по математике. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя и не так глубоко). Современные требования к уровню математической подготовки предполагают их ясное понимание, умение делать правильные логические выводы. На преодоление этих трудностей и ориентирован данный элективный курс.

Математической особенностью курса является такое изложение материала, при котором новое содержание изучается на конкретных примерах и задачах занимательного характера. Кроме того, особое внимание уделяется овладению учащимися математическими методами поиска решений, логическими рассуждениями.
^ Цели элективного курса:

-познакомить учащихся с элементами математической логики, историей ее развития как науки;

-показать роль математической логики для обоснования логического строения геометрии и арифметики;

-обучить простейшим логическим операциям, развивать строгое мышление;

-выработать привычку пользоваться простыми, но фундаментальными математическими идеями.

^ Основные задачи курса:

1. Сформировать знания:

-основных понятий математической логики;

-простейших логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания;

-методов решения логических задач, поиска оптимального варианта.

2. Сформировать умения:

-логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать факты;

-выдвигать в ходе рассуждений гипотезы, исследовать их совместимость с исходными данными, приходить к заключению (правильному выводу), получать верные утверждения из заданных посылок;

-использовать язык математики для анализа информации.
Основные формы организации занятий:

1. Интерактивные лекции-дискуссии.

2. Работа в группах.

3. Работа с научными текстами.

4. Самостоятельная работа над теоретическим материалом.

5. Практические занятия по решению задач.

6. Домашняя контрольная работа.

7. Выполнение творческих заданий.

Ожидаемые результаты:

- развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

- расширение кругозора.
Программа курса рассчитана на 10 часов.

По окончании курса предполагается защита творческих работ.
^ Содержание изучаемого курса
1.Введение (1ч).

Понятие логики. Законы логики в трудах Аристотеля. Силлогизмы, парадоксы (примеры). Что такое математическая логика. Теория доказательств, математическая модель. Развитие математической логики. Формальный язык. Направления в современной математической логике.
^ 2.Логика высказываний. (2ч).

Занятие 1. Верные, неверные высказывания. Простые и сложные высказывания. Логические связки «или», «и», «если», «не». Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Таблица истинности.

Занятие 2. Практическое занятие.

Решение задач на составление высказываний, определение их вида. Составление высказываний, данной логической структуры.
^ 3. Математические софизмы (1ч.).

Понятие математических софизмов. Их роль для обоснования логического строения геометрии и арифметики. Апории (софизмы) мудреца V века до н. э. Зенона Элейского: о стреле, Ахиллес и черепаха. Их значение для создания теории действительных чисел. Задача Флавия. Задачи на выбор наилучшего варианта. Их роль в области науки, экономики, техники.
^ 4. Принцип Дирихле (1ч).

Сущность принципа Дирихле. Задача «о кроликах в клетке». Популярные задачи на применение принципа Дирихле. Примеры его использования для решения задач и доказательства арифметических утверждений.
^ 5. Теория графов (1ч).

Что называется графом в математике. Примеры использования теории графов на практике: при нахождении наилучших вариантов подвоза товаров по магазинам, материалов по стройкам и т. д. Сетевой график строительства. Использование графов для решения логических проблем. «Задача коммивояжера». Граф позиционной игры.
^ 6. Практическое занятие. Решение логических задач.(2ч).

Общие рекомендации по решению логических задач. Сведение анализа задачи к системе записей: схемы, таблицы. Типология задач: лжецы и правдивые, взвешивания, размен денег, переливания. Домашняя контрольная работа.
^ 7.Математические игры и логические головоломки(1ч).

Математическая теория логических игр. Закономерности ходов. Знакомство с популярными головоломками: морской бой, игра в «15», кубик Рубика, «быки и коровы», крестики и нолики. Поиск выигрышной стратегии.
8.Защита творческих работ (1ч.).
Темы творческих работ и сообщений:

  1. Логика – основа философских идей Платона.

  2. «Отец логики» - Аристотель.

  3. Система счисления Фибоначчи.

  4. Математическая задача раскладывания пасьянсов.

  5. Основы математической логики в трудах Г. Лейбница.

  6. Дж. Буль. Его вклад в формирование математической логики как научной дисциплины.


Список литературы

  1. Байиф Ж. К. Логические задачи. - М.: Мир, 1978.

  2. Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. - М.: Мир, 1975.

  3. Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика.- М.: Мир,1978.

  4. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах.- М.: Наука, 1969.

  5. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи.- М.: Наука, 1978.

  6. Гарднер М. Математические чудеса и тайны.- М.: Наука,1978.

  7. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.- М.: Мир, 1971.

  8. Гжегорчик А. Популярная логика.- М.: Наука, 1978.

  9. Гик Е. А. Занимательные математические игры.- М.: Знание, 1982.

  10. Кутасов А. Д. Элементы математической логики.- М.: Просвещение, 1977.

  11. Никольская И. Л. Математическая логика.- М.: Высшая школа,1981.

  12. Столяр А. А. Как мы рассуждаем.- Минск: Высшая школа, 1968.

  13. Фрейденталь Х. Язык логики.- М.: Наука, 1968.

  14. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика, 1998.

  15. Энциклопедия для детей т.11. Математика.- Москва «Аванта+», 1998.


Занятие 1

Введение

План

  1. Понятие логики.

  2. Законы логики в трудах Аристотеля.

  3. Силлогизмы, парадоксы (примеры).

  4. Что такое математическая логика?

  5. Теория доказательств, математическая модель.

  6. Развитие математической логики.

  7. Формальный язык.

  8. Направления в современной математической логике.


Логика – это учение о способах рассуждений и доказательств безотносительно к тому, где и для чего они используются: в споре, научном исследовании, зале суда.

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, военном деле и в хозяйственной области. Но, хотя умение это восходит к древнейшим временам, логика, т.е. наука о том, какие рассуждения правильны, возникла лишь немногим более 2 тыс. лет тому назад. Она была развита в IV в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), его учеников и последователей.

Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма. Силлогизм – это рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье.

Примером силлогизма может служить такое рассуждение:

^ Все млекопитающие имеют скелет. Все киты – млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет”.

Ту же форму имеет силлогизм:

Все квадраты – ромбы, все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы”.

В общем виде этот силлогизм имеет форму:

^ Все а суть в, все в суть с. Следовательно, все а суть с”.

А вот пример силлогизма неправильной формы:

Все квадраты – ромбы. Некоторые ромбы имеют острый угол. Некоторые квадраты имеют острый угол”.

Хотя оба утверждения, из которых сделан вывод, истинны, сам вывод ложен. Значит силлогизм, имеющий форму:

^ Все а суть в, некоторые в суть с. значит некоторые а суть с”

может привести и к ложным выводам.

Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из суждений вида:

Все а суть в”.

Некоторые а суть в”.

Все а не суть в”.

Некоторые а не суть в”.

Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической.

Доказано, что общее число силлогизмов, которое можно составить из суждений указанного вида, ровно 256. Из них правильными являются лишь 24. Для проверки правильности силлогизмов можно использовать метод геометрической иллюстрации логических рассуждений, который был предложен великим математиком XVIII в., петербургским академиком Л. Эйлером и широко применялся английским математиком Дж. Венном. По этому методу логические рассуждения изображаются графически.



Если все А суть В, а все В суть С, то все А суть С”.



^ Если все А суть В, ни одно В не является С, то ни одно А не является С”.



неверно верно
^ Все А суть В, некоторые В суть С. Значит, некоторые А суть С”.
Для того чтобы рассуждать человек должен использовать какой-то язык – русский, английский. Но естественный язык допускает грамматически правильные конструкции, которые выглядят как осмысленные утверждения, но, тем не менее, нельзя в принципе решить, истинны они или ложны.
Примеры:

  1. 2² = 4. (и)

  2. Земля является третьей от Солнца планетой Солнечной системы. (и)

  3. Свинец не тонет в воде. (л)

  4. На Марсе была жизнь. (?)

  5. 1 марта 3 года н.э. в Москве был дождь. (?)


Истинность или ложность некоторых не может быть установлена сразу (высказывания 4 и 5), но эти высказывания либо истинны, либо ложны.

Но бывают и другие предложения, про которые невозможно решить, истинны они или ложны. Такие утверждения – «призраки», т.е. парадоксы – противоречия, возникающие в результате, казалось бы, совершенно корректных рассуждений.
^ Пример. Парадокс Брадобрея.

Говорят, что в некоторой деревне был всего один брадобрей. Он брил всех тех и только тех мужчин, которые не брились сами. Брил ли этот брадобрей себя?”

Дискуссия по вариантам ответов.

Как же избежать парадоксов? Один из путей – построение искусственного формального языка, лишенного «вольностей» языков естественных.

Для этого была создана буквенная символика, это положило начало развитию математической логике, которая исследует способы рассуждений, применяемые в математике.

Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г.В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам. В XX в. в рамках математической логики возник новый раздел – теория алгоритмов, где изучаются не способы рассуждать, а способы вычислять.

Развитие математической логики шло в двух противоположных направлениях. С одной стороны, сейчас почти все теоремы математики могут быть выведены по четким правилам и, в принципе, это может сделать даже компьютер. С другой стороны, была установлена неизбежная ограниченность любой «механической» системы получения математических результатов. Т.о. мечта Лейбница частично осуществилась, а частично осталась невыполнимой.
Задания для самостоятельного решения

  1. Нарисуйте диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие суждения:

  1. Все х являются у, и некоторые у не являются z, значит, некоторые х не являются z.

  2. Если некоторые х являются у, а некоторые у являются z, то некоторые х являются z.

Верны ли они?

  1. Какие из высказываний истинны, какие ложны?

  1. Маяковский написал «Войну и мир».

  2. Самая высокая гора в мире называется Сагарматха.

  3. Иголки хвойных деревьев – это видоизменившиеся листья.

  4. Третье тысячелетие новой эры начинается 1 января 2000г.

  5. Отчество пушкинской героини Татьяны Лариной – Дмитриевна.

  6. Дядю Евгения Онегина звали Андреем Петровичем.

  7. Слон сильнее кита.

III. Найти в романе Сервантеса «Дон Кихот» пример парадокса.

Занятие 2

Тема. Логика высказываний

План

  1. Верные, неверные высказывания.

  2. Простые и сложные высказывания.

  3. Логические связки “или”, “и”, “если”, “не”.

  4. Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание.

  5. Таблица истинности.


Основным понятием математической логики является высказывание. Так называют любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, математических, химических и прочих знаков. Примеры высказываний были приведены на занятии № 1. (Можно проверить истинность высказываний домашнего задания). Обратить внимание на то, что, несомненно, любое высказывание либо истинно, либо ложно, даже если неизвестно, какая из этих возможностей выполнена. Пример такого высказывания: 1 марта 3 года до н.э. в Москве был дождь. (Желательно, чтобы учащиеся сами вспомнили это высказывание или сами привели подобный пример.)

Не всякое предложение является высказыванием. Например, восклицательные, вопросительные предложения и определения не являются высказываниями. Предложения “он отличник” или “х2 = 25” также не являются высказываниями – в них не указано о каком именно ученике идет речь и для какого числа х верно равенство х2 = 25.

Задание.

Изменить данные предложения таким образом, чтобы они стали высказываниями. (Например, Коля Птичкин – отличник. При х = 5 справедливо равенство х2 = 25).
Некоторые высказывания можно разделить на отдельные части, при этом каждая часть будет самостоятельным высказыванием. Такие высказывания называют сложными, а неразложимое высказывание - простым. Например, высказывание: “Сегодня с утра было пасмурно, а к вечеру пошел дождь” состоит из 2 частей: “Сегодня с утра было пасмурно” и “К вечеру пошел дождь”. Сложное высказывание образованно с помощью связки “и”.
Задание.

Из следующих сложных высказываний выделите простые, обозначьте каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание.

  1. “На уроке учащиеся работали устно и писали самостоятельную работу”.

  2. “На субботнике мы будем перекапывать школьный участок или пересаживать цветы”.

  3. “Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм ”.

  4. “Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр нечетна”.


Сложные высказывания 1) и 2) были составлены из простых с помощью союзов “и”, “или”. В математической логике для аналогичной цели используют специальные символы: знак дизъюнкции V (“или”), знак конъюнкции Λ (“и”).

Высказывания вида: “Если А, то В” называют импликацией и обозначают знаком =>.

Высказывания вида: “А тогда и только тогда, когда В” называют эквиваленцией и обозначают знаком <=>.
Вопрос. Можно ли поменять местами аргументы в конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?

(Ответ. Нельзя в импликации).
Рассмотрим следующие высказывания:

А: “Сегодня в 14 часов я был на катке”.

В: “Сегодня я был на катке не в 14 часов”.

С: “Сегодня в 14 часов я был не на катке”.

Д: “Сегодня в 14 часов я не был на катке”.

Какие два из этих высказываний отрицают одно другое?

После дискуссии учащиеся выясняют, что высказывание Д отрицает А, так как оно истинно в том случае, когда А ложно, и ложно в том случае, когда А истинно.

Знак отрицания: ┐ или ─, т.е. можно записать: ┐Д = А, ┐А = Д.

Смысл логических связок, помимо указанных названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от его составных частей.

Учащиеся совместно с учителем заполняют таблицу.


А

В

А Λ В

А V В

А=>В

А<=>В

┐А

И

И

И

И

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

И

И


^ Задание для самостоятельного решения. Хлеба или зрелищ.

Будем считать, что билет в кино стоит 10 рублей и что пирожок стоит 10 рублей. Тогда:

А=>В: Если у Пети есть 10 рублей, то он может посмотреть фильм.

А=>С: Если у Пети есть 10 рублей, то он может съесть пирожок.

Формула ((А=>В) Λ(А=>С)) => (А=>(В ΛС)) по законам алгебры логики истинна. Можно ли на основе этого заключить для нашего высказывания, что А=>(В ΛС): если у Пети есть 10 рублей, то он может посмотреть фильм и съесть пирожок. В чем дело?

  1   2   3

Похожие:

Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconЭлективный курс "Системы счисления и элементы математической логики"...
Цель курса: привить интерес к информатике, изучить позиционные системы счисления,научиться производиться вычисления в компьютере....
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconЭлективный курс «Занимательные опыты по химии» Пояснительная записка...
Элективный курс «Занимательные опыты», предназначен для учащихся 8-9 rлассов. Он задуман, как путь повышения интереса к химии через...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconПрограмма элективного курса Пояснительная записка. Элективный курс «индикаторы»
Элективный курс «индикаторы» предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов. На изучение данного курса отводится...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconТехнологическая карта дисциплины «Алгебра и математическая логика»
Элементы математической логики (высказывания, логические операции; логическое следствие, методы доказательств; предикаты, кванторы;...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconЭлективный курс «жизнь до рождения» (8 часов) Пояснительная записка
Элективный курс «Жизнь до рождения» предназначен для формирования у школьников необходимых знаний о влиянии эмбрионального развития...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconПояснительная записка Элективный курс физики «Методы решения физических задач»
Элективный курс физики «Методы решения физических задач» это курс повышенного уровня, способствующий профильной подготовке, развитию...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconПрограмма элективного курса 10 класс Часовская С. М. учитель мхк...
Элективный курс «Культурное наследие нашего края» для учащихся старшей школы рассчитан на 34 часа
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconПояснительная записка Данный элективный курс составлен на основе...
Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов и является предметно-ориентированным. Данный курс относится к типу элективных...
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconПояснительная записка
Элективный курс «Милая Франция» предназначен для учащихся 8-11 классов, не изучающих французский язык в качестве основного
Пояснительная записка Элективный курс «Элементы математической логики» iconЭлективный курс "Журналистика" 10 класс Пояснительная записка
Она направлена на углубление и расширение знаний, умений и навыков по русскому языку. Программа ориентирована на учащихся, выбравших...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница