Задача 13,1




Скачать 124,92 Kb.
НазваниеЗадача 13,1
Дата публикации20.08.2013
Размер124,92 Kb.
ТипЗадача
pochit.ru > Информатика > Задача
ТРИНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
^

Содержание: Определение предела последовательности (задачи повышенной трудности).


Задача 13,1. Найти если

Решение. 1) Если , то , и тогда (см. задачу 11,4 — основание степени по абсолютной величине меньше 1). Значит, — бесконечно малая величина, а потому обратная ей величина — бесконечно большая величина; так как при и , стремящемся к , переменная величина принимает только положительные значения, то

Если же , то переменная величина при делается попеременно то положительной, то отрицательной, неограниченно возрастая по абсолютной величине, а потому
^ 3) Если , то , при каждом , а потому при будет

4) Если же, то переменная величина не стремится ни к какому пределу, потому что когда пробегает значения величина делает скачки от и обратно.

Прежде чем решать следующие задачи, укажем на очень важные теоремы, выражающие признаки существования предела переменной величины.

^ Теорема 13,1. Если переменная величина монотонно возрастает вместе с , но остается меньше некоторого числа , то стремится к пределу, и этот предел не больше, т. е. меньше или равен

Теорема 13,2. Если переменная величина монотонно убывает с возрастанием , но остается больше некоторого числа, то стремится к пределу и этот предел не меньше, т. е. больше или равен .

Теорема можно объединить в одну, которая коротко формулируется так:

^ Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Эти теоремы будут использованы в задачах которые будут решаться по такому общему

  1. прежде всего мы докажем, что данные последовательности монотонны;

  2. после этого установим, что они ограничены

Убедившись в выполнении этих двух требований, и-тем самым в существовании предела последовательности, мы будем отыскивать этот предел.

Задача Доказать, что если— любое положительное число, то
Решение. Допустим сначала, что число. Тогда последовательность является монотонно убывающей. Но эта последовательность и ограничена, так как Поэтому на основании теоремы эта последовательность имеет предел , и этот предел не может быть меньше, , т. е. Покажем, что предположение приводит к противоречию. Действительно, так как рассматриваемая последовательность — монотонно убывающая, то даже при сколь угодно большом имеем, что
Отсюда . Так как , то при величина — бесконечно большая. Но это противоречит условию задачи, согласно которому — число и тем самым не может быть величиной бесконечно большой. Таким образом, предположение что привело нас к противоречию и должно быть отброшено и остается только заключить, что

Т.е.



Последовательность — монотонно убывающая



Последовательность ограничена снизу.
Но по теореме 13.2 стремится к пределу и этот предел не меньше 1, т. е. больше или равен 1.

Допустим, что предел . Действительно, так как рассматриваемая последовательность — монотонно убывающая, то даже при сколь угодно большом имеем, что





Таким образом, предположение что привело нас к противоречию и должно быть отброшено и остается только заключить, что

Читателю предлагается самостоятельно доказать что и при положительном, но меньшем имеет место соотношение

Указание. Воспользоваться теоремой . В этом случае последовательность — возрастающая (и ограниченная, т. к.. Пределом будет число . Доказательство должно привести к тому, что случай является невозможным. Останется единственно возможное заключение, а это и требуется.

Т.е.



Последовательность — монотонно возрастающая.



Последовательность ограничена сверху.
Но по теореме 13.1 стремится к пределу и этот предел не больше 1, т. е. меньше или равен 1.

Допустим, что предел . Действительно, так как рассматриваемая последовательность — монотонно возрастающая, то даже при сколь угодно большом имеем, что





Таким образом, предположение что привело нас к противоречию и должно быть отброшено и остается только заключить, что
Задача Показать, что еслит. е. что последовательность расходится к

Решение. Так както можно записать, что где Тогда



Теперь переходя к пределу при получаем
т. е. переменная при бесконечно большая.
Поэтому можно также утверждать, что для достаточно больших

если

Результат этой задачи приводит также к выводу, что
Задача Показать, что
Решение. При вычислениях, связанных с числом получается заключение, чтопри любом . Значит, меньше любого числа, которое больше или равно, т. е. для всех чисел имеет место неравенство. Из этого следует, что
Извлекая теперь из обеих частей неравенства корень степени , получаем, что
или
Мы установили это неравенство для того, чтобы показать, что последовательность— убывающая, когда п возрастает от значения, равного , т. е. — убывающая последовательность. А так как при любом целом всегда, то эта убывающая последовательность ограничена. Значит, последовательность будучи убывающей и ограниченной, необходимо стремится к пределу, причем этот предел не меньше . Обозначим этот предел через . Так как этот предел не меньше 1, то . Покажем, что предположение приводит к противоречию и тем самым для останется единственная возможность быть равным 1. Действительно, так как рассматриваемая последовательность — монотонно убывающая, то даже при сколько угодно больших будет а потому Это неравенство находится в противоречии с неравенством полученном в последнем абзаце предыдущей задачи при тех же условиях: , а достаточно велико.

Таким образом предположение привело к противоречию и должно быть отброшено. Для остается только одна возможность быть равным 1 и тем самым соотношениедоказано.

Отсюда можно получить следствие:





Для решения дальнейших задач полезна

^ Теорема 13,3. Если для трех переменных начиная с некоторого номера п, выполняется соотношение
а хп и уп имеют равные пределы, то тот же предел имеет и zn.

Задача 13,6. Найти предел

Решение. Для п > 2 выполняются неравенства
а поэтому на основании последней теоремы 13,3 заключаем, что искомый предел равен 1:












Задача 13,8. НайтиПри вычислении этого предела мы не можем применить теорему о пределе разности двух переменных, ибо эта теорема верна только в том случае, когда обе переменные имеют предел. В нашем случае ни ни предела не имеют, так как на основании соотношений (12,7) при , а вместе с ним и
Здесь мы имеем дело с разностью двух положительных бесконечно больших величин. Без специального исследования об этой разности нельзя сказать ничего определенного. Такие разности называют «неопределенностями» вида (запись есть символическое обозначение «неопределенности» такого вида, а не вычитание символов). Данную переменную преобразуем, умножив и разделив ее на . Это преобразование мы делаем для того, чтобы перенести иррациональность в знаменатель:
ибо при есть положительные бесконечно большие величины, их суммаесть тоже положительная бесконечно большая величина, а величина, обратная ей, есть величина бесконечно малая. Предел же бесконечно малой величины равен нулю.

Задача 13.9. Найти

Решение. Здесь снова мы имеем дело с разностью двух босконечно больших величин («неопределенность» вида ), и без специального исследования никакого заключения о пределе их разности мы сделать не можем.

Как и в предыдущих двух задачах, перенесем иррациональность в знаменатель, и тогда
так как при предел числителя равен , а знаменатель есть величина бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых величин. Значит, мы имеем дело с величиной, которая обратна бесконечно малой, а такая величина — бесконечно большая.

Задача 13,10 (для самостоятельного решения). Определить
Указание. Здесь снова фигурирует разность двух бесконечно больших величин, а множительпредела не имеет. Поэтому теорему 12,18 (пункты А и В) применить нельзя. Для решения задачи надо выражение, стоящее под знаком предела, умножить и разделить наив полученном выражении произвести деление числителя и знаменателя дроби на Ответ.

Задача 13,11 (для самостоятельного решения). Определить
Указание. Здесь мы имеем дело с отношением двух бесконечно больших величин, о котором без специального исследования ничего определенного сказать нельзя. Также нельзя применить и теорему о пределе частного (12,18 пункт С), так как для ее применения требуется, чтобы числитель и знаменатель дроби имели пределы, а з данном случае ни числитель, ни знаменатель дроби предела не имеют (они величины бесконечно большие). Для решения задачи следует числитель и знаменатель дроби разделить на п.

Ответ. 1.

Задача 13,12 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Здесь мы опять-таки встречаемся с отношением двух бесконечно больших величин. Теорему 12,18 (пункт С) применить нельзя (числитель и знаменатель дроби предела не имеют). Для решения задачи числитель и знаменатель дроби разделить на п.

, Указание. При решении каждого из этих примеров мы имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин. Теорема о пределе разности и в первом и во втором случае неприменима, так как переменные не имеют предела. Перенести иррациональность в знаменатель, после чего числитель и знаменатель дроби разделить на .

Найти:
Воспользоваться формулой , переписать данное выражение в виде
и учесть результат задачи

Задача 13,15 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на . Можно поступить и иначе: представить данную дробь в виде.
воспользоваться формулами ^ Ответ. 0.

Задача (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Числитель дроби записать так:
Каждую из сумм, стоящую в скобках, вычислить как сумму членов арифметической прогрессии. После этого числитель и знаменатель дроби разделить на .

^ Ответ.

Решение трех следующих задач основано на применении формул

Задача 13,17. Найти Решение. Здесь в скобках стоит разность двух бесконечно

больших величин. Полагая умножим и раз-

делим выражение, стоящее под знаком предела, на и получим
так как знаменатель дроби при есть сумма трех положи-

тельных бесконечно больших величин, а потому на основании п. 12,20 заключаем, что это величина положительная, бесконечно большая. Величина же обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая, и ее предел равен нулю.

(для самостоятельного решения). Найти
Указание. Здесь мы снова имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин. Полагая

умножить и разделить на . После приведения подоб-

ных членов в числителе получится . После этого числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень, встречающуюся в членах дроби, т. е. на Ответ. 0.

Этим заканчиваются упражнения, связанные с определением предела последовательности.

Задачи для дополнительных упражнений учащийся может взять из хорошо зарекомендовавшего себя задачника для втузов под редакцией Б. П. Демидовича «Задачи и упражнения по математическому анализу».

Похожие:

Задача 13,1 iconЗадача 1 63 задача 2 66 задача 3 69 задача 4 72 задача 5 76 задача...
Ввести сведения об организации и выполнить настройки (выбрать мышкой верхнее меню Сервис )
Задача 13,1 iconЗадача математического программирования
Математические модели задач экономического содержания (задача «о ресурсах», задача «о диете»)
Задача 13,1 iconЛекция 12
Различают 3 вида задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (оду): задача Коши, краевая задача и задача на собственные значения....
Задача 13,1 iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Задача №1
С целью приобретения навыков расчета различных усилительных каскадов в контрольную работу включены расчеты широко применяемых однотактных...
Задача 13,1 iconПод названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач...
Линейное программирование является одним из разделов математического программирования – области математики, разрабатывающей теорию...
Задача 13,1 iconЗадача 1
Задача Составить бухгалтерский баланс коммерческой фирмы после каждой хозяйственной операции приведенной в таблице
Задача 13,1 iconПонятие о решении дифференциального уравнения. Основная задача интегрирования...
Дифференциальные уравнения I порядка. Задача Коши. Теоремы существования и единственности решения
Задача 13,1 iconЗадача э/т
Задача э/т – дать не просто описание э/явлений, а показать их взаимосвязь, т е раскрыть систему э/явлений, процессов и законов
Задача 13,1 iconЗадача эконометрического анализа ооооооо На языке математики задача звучит так
...
Задача 13,1 iconУрока : онз тема: «Сатира и юмор в произведениях детской литературы. Н. Носов «Федина задача»
Сформировать представление о сатире и юморе; на примере рассказа Н. Носова «Федина задача»
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница