Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Гипергеометрическая схема

Скачать 153,84 Kb.

Название	Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Гипергеометрическая схема
Дата публикации	23.10.2013
Размер	153,84 Kb.
Тип	Задача

pochit.ru > Математика > Задача

Теория вероятностей, занятие 4

Занятие № 4.
Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Гипергеометрическая схема.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

ФОРМУЛА БАЙЕСА

ТЕОРИЯ

Формула полной вероятности:

Пусть имеется полная группа несовместных событий :

(

).Тогда вероятность события А можно рассчитать по формуле

(4.1)

События называются гипотезами. Гипотезы выдвигаются относительно той части эксперимента, в которой присутствует неопределённость.

, где -априорные вероятности гипотез

Формула Байеса:
Пусть опыт завершён и известно, что в результате опыта произошло событие A. Тогда можно с учётом этой информации переоценить вероятности гипотез:

(4.2)

, где

апостериорные вероятности гипотез

^

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1.

Условие

В поступивших на склад 3 партиях деталей годные составляют 89 %, 92 % и 97 % соответственно. Количество деталей в партиях относится как 1:2:3.

Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется бракованной.
Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалось бракованной. Найти вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям.

Решение:
Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранная деталь окажется бракованной.
1-ый вопрос – на формулу полной вероятности

2-ой вопрос - на формулу Байеса
Гипотезы выдвигаются относительно той части эксперимента, в которой присутствует неопределённость. В данной задаче неопределённость состоит в том, из какой партии случайно выбранная деталь.

Пусть в первой партии а деталей. Тогда во второй партии – 2a деталей, а в третьей – 3a деталей. Всего в трёх партиях 6a деталей.

(процент брака на первой линии перевели в вероятность)

(процент брака на второй линии перевели в вероятность)

(процент брака на третьей линии перевели в вероятность)

По формуле полной вероятности рассчитываем вероятность события A

-ответ на 1 вопрос
Вероятности того, что бракованная деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям рассчитываем по формуле Байеса:

Задача 2.
Условие:
В первой урне 10 шаров : 4 белых и 6 чёрных. Во второй урне 20 шаров : 2 белых и 18 чёрных. Из каждой урны выбирают случайным образом по одному шару и кладут в третью урну. Затем из третьей урны случайным образом выбирают один шар. Найти вероятность того, что извлечённый из третьей урны шар будет белым.

Решение:

Ответ на вопрос задачи можно получить с помощью формулы полной вероятности:
Неопределённость состоит в том, какие шары попали в третью урну. Выдвигаем гипотезы относительно состава шаров в третьей урне.
H₁={в третьей урне 2 белых шара}

H₂={в третьей урне 2 чёрных шара}

H₃={ в третьей урне 1 белый шар и 1 чёрный шар}

A={шар взятый из 3 урны будет белым}

По формуле полной вероятности получаем:

Задача 3.

В урну, содержащую 2 шара неизвестного цвета, опустили белый шар. После этого из этой урны извлекаем 1 шар. Найти вероятность того, что шар извлечённый из урны будет белым.
Шар, извлечённый из выше описанной урны, оказался белым. Найти вероятности того, что в урне до перекладывания было 0 белых шаров, 1 белый шар и 2 белых шара.

^ 1 вопрос- на формулу полной вероятности

2 вопрос –на формулу Байеса
Неопределённость состоит в первоначальном составе шаров в урне. Относительно первоначального состава шаров в урне выдвигаем следующие гипотезы:
^ H_i={ в урне до перекладывания был i-1 белый шар}, i=1,2,3

, i=1,2,3( в ситуации полной неопределённости априорные вероятности гипотез берём одинаковыми, т.к. мы не можем сказать, что один вариант более вероятен по сравнению с другим)

А={шар, извлечённый из урны после перекладывания, будет белым}

Вычислим условные вероятности:

Произведём расчёт по формуле полной вероятности:

-ответ на 1 вопрос
Для ответа на второй вопрос используем формулу Байеса:

(уменьшилась по сравнению с априорной вероятностью)

(не изменилась по сравнению с априорной вероятностью)

(увеличилась по сравнению с априорной вероятностью)
Вывод из сравнения априорных и апостериорных вероятностей гипотез: первоначальная неопределённость количественно поменялась

Задача 4.

Условие:

При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвёртую группу крови можно перелить кровь любой группы, человеку со второй и третьей группой можно перелить либо кровь его группы, либо первой. Человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Известно, что среди населения 33,7 % имеют первую группу, 37,5 % имеют вторую группу, 20,9 % имеют третью группу и 7,9 % имеют 4 группу. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
Решение:

Выдвигаем гипотезы о группе крови случайно взятого больного:
^ H_i={у больного i-ая группа крови}, i=1,2,3,4

(Проценты перевели в вероятности)
A={ можно осуществить переливание}

По формуле полной вероятности получаем:

Т.е. переливание можно осуществить примерно в 60 % случаев

Схема Бернулли (или биномиальная схема)

Испытания Бернулли –это независимые испытания, в каждом из которых мы различаем 2 исхода, которые условно называем успех и неудача.

p-вероятность успеха

q –вероятность неудачи

Вероятность успеха не меняется от опыта к опыту
^

Результат предыдущего испытания не влияет на следующие испытания.

Проведение описанных выше испытаний называется схемой Бернулли или биномиальной схемой.

^ Примеры испытаний Бернулли:

Подбрасывание монеты

Успех –герб

Неудача-решка

-случай правильной монеты

случай неправильной монеты

p и q не меняются от опыта к опыту , если в процессе проведения опыта мы не меняем монету

Подбрасывание игральной кости

Успех- выпадение «6»

Неудача –всё остальное

- случай правильной игральной кости

- случай неправильной игральной кости

p и q не меняются от опыта к опыту , если в процессе проведения опыта мы не меняем игральную кость

Стрельба стрелка по мишени

Успех- попадание

Неудача – промах

p =0.1 (стрелок попадает в одном выстреле из 10)

q=0.9

p и q не меняются от опыта к опыту , если в процессе проведения опыта мы не меняем стрелка
Формула Бернулли.

Пусть проводится n испытаний Бернулли c вероятностью успеха p. Рассмотрим события

{в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p произойдёт m успехов},

-для вероятностей таких событий существует стандартное обозначение

<-Формула Бернулли для расчёта вероятностей (4.3)

Пояснение к формуле:

вероятность того, что произойдёт m успехов (вероятности перемножаются, т.к. испытания независимы, а т.к. они все одинаковы появляется степень),

- вероятность того, что произойдёт n-m неудач (объяснение аналогично как для успехов),

-число способов реализации события, т.е. сколькими способами может разместиться m успехов на n местах.
^ Следствия формулы Бернулли:

Следствие 1:

Пусть проводится n испытаний Бернулли c вероятностью успеха p. Рассмотрим события

A(m1,m2)={число успехов в n испытаниях Бернулли будет заключено в диапазоне [m1;m2]}

(4.4)

Пояснение к формуле: Формула (4.4) следует из формулы (4.3) и теоремы сложения вероятностей для несовместных событий , т.к.

-сумма (объединение) несовместных событий, а вероятность каждого определяется формулой (4.3).

Следствие 2

Пусть проводится n испытаний Бернулли c вероятностью успеха p. Рассмотрим событие

A={ в n испытаниях Бернулли произойдёт хотя бы 1 успех}

(4.5)

Пояснение к формуле: ={в n испытаниях Бернулли не будет ни одного успеха}=

{все n испытаний будут неудачны}

Задача (на формулу Бернулли и следствия к ней) пример к задаче 1.6-Д.з.

Правильную монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятности следующих событий:
A={герб выпадет ровно 5 раз}

B={герб выпадет не более 5 раз}

C={герб выпадет хотя бы 1 раз}
Решение:

Переформулируем задачу в терминах испытаний Бернулли:
^

n=10 число испытаний

успех- герб

p=0.5 –вероятность успеха

q=1-p=0.5 –вероятность неудачи
Для расчёта вероятности события A используем формулу Бернулли:

Для расчёта вероятности события В используем следствие 1 к формуле Бернулли:
m1=0

m2=5

Для расчёта вероятности события С используем следствие 2 к формуле Бернулли:

Схема Бернулли. Расчёт по приближённым формулам.
^ ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Локальная формула

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико причём велики также вероятности p успеха и q неудачи, то для всех m справедлива приближённая формула:

, (4.6)
Вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли равно m.

Значение функции

можно найти в специальной таблице . Там содержатся значения только для . Но функция -чётная, т.е. .

Если

, то полагают

Интегральная формула

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико причём велики также вероятности p успеха и q неудачи, то для всех

справедлива приближённая формула (4.7):

Вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в диапазоне

.

Значение функции

можно найти в специальной таблице. Там содержатся значения только для . Но функция -нечётная, т.е. .

Если

, то полагают

^ ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА

Локальная формула
Пусть число испытаний n по схеме Бернулли велико, а вероятность успеха в одном испытании мала, причём мало также произведение

. Тогда

определяют по приближенной формуле:

(4.8)
Вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли равно m.

З

начения функции

можно посмотреть в специальной таблице.

Интегральная формула
Пусть число испытаний n по схеме Бернулли велико, а вероятность успеха в одном испытании мала, причём мало также произведение

.

Тогда

определяют по приближенной формуле:

, (4.9)
Вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в диапазоне

.
Значения функции

можно посмотреть в специальной таблице и затем просуммировать по диапазону.

Таблица (Рекомендации по применению приближённых формул, выбор осуществляется по числам и m)

Формула	Формула Пуассона	^ Формула Муавра-Лапласа	Качество оценки
n<10			оценки грубы
10			используются для грубых прикидочных расчётов
20			используются для прикладных инженерных расчётов
1000			используются для любых инженерных расчётов
n>1000			очень хорошее качество оценок

Можно посмотреть в кач-ве примеров к задачам 1.7 и 1.8 Д.з.

Расчёт по формуле Пуассона.

Задача (формула Пуассона).
Условие:

Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0.001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.
Решение:

Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче.

Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли

-количество символов в сообщении

успех: символ не искажается

-вероятность успеха

m=0

(Вопрос задачи в терминах схемы Бернулли)

Вычислим

. ^ См. рекомендации по применению приближенных формул (): для расчёта нужно применить формулу Пуассона

^ Вероятности для формулы Пуассона по и m можно найти в специальной таблице.
Условие:

Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течении минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислить вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее 3 вызовов.
Решение:

Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли

успех: поступление вызова

-вероятность успеха

[3;

] –диапазон, в котором должно лежать число успехов

Вычислим

. ^ См. рекомендации по применению приближенных формул (): для расчёта нужно применить формулу Пуассона для диапазона
А={ поступит не менее трёх вызовов}-событие, вероятность которого треб. найти в задаче

{поступит менее трёх вызовов} Переходим к доп. событию, т.к. его вероятность подсчитать проще.

(расчёт слагаемых см. специальная таблица)
Таким образом,

Задача (локальная формула Мувра-Лапласа)
Условие

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах произойдёт ровно 300 попаданий.

Решение:

Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли

n=400 –число испытаний

m=300 –число успехов

успех- попадание

p=0.8

(Вопрос задачи в терминах схемы Бернулли)

См. рекомендации по применению приближенных формул => для расчёта нужно применить локальную формулу Муавра-Лапласа

Предварительный расчёт:

Значение функции

можно найти в таблице . Там содержатся значения только для . Но функция -чётная, т.е. .

Если

, то полагают

Задача (интегральная формула Мувра-Лапласа)

Найти вероятность того, при 600 подбрасываниях игральной кости выпадет от 90 до 120 шестёрок.
Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли

n=600 –число испытаний

успех – выпадение 6

p=1/6 -кость предполагается правильной

[90,120]-диапазон для числа успехов

q=5/6

^ См. рекомендации по применению приближенных формул => для расчёта нужно применить интегральную формулу Муавра-Лапласа

^ Предварительный расчёт:

Обозначим через A –событие, о котором спрашивается в задаче

Значение функции

можно найти в специальной таблице. Там содержатся значения только для . Но функция -нечётная, т.е. .

Если

, то полагают

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА

Проводим независимые испытания, в каждом из которых мы различаем m вариантов.

p₁– вероятность получить первый вариант при одном испытании

p₂– вероятность получить второй вариант при одном испытании

…………..
p_m– вероятность получить m-ый вариант при одном испытании

p_1,p_{2, ……………..,}p_mне меняются от опыта к опыту

Последовательность описанных выше испытаний называется полиномиальной схемой.

(при m=2 полиномиальная схема превращается в биномиальную), т.е. изложенная выше биномиальная схема –это частный случай более общей схемы, называемой полиномиальной ).
Рассмотрим следующие события
А(n₁,n₂,….,n_m)={ в n испытаниях описанных выше n₁ раз появился вариант 1, n₂ раз появился вариант 2, ….., и т. д. , n_m раз появился вариант m}
^

Формула для расчёта вероятностей по полиномиальной схеме

(4.10)

Задача на полиномиальную схему

Условие

Игральную кость бросают 10 раз. Требуется найти вероятность того, что «6» выпадет 2 раза, а «5» выпадет 3 раза.

Решение:

Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче.

Переформулируем задачу в терминах полиномиальной схемы:

n=10 –число испытаний

m=3 – число вариантов, которые мы различаем в каждом испытании

1 вариант-выпадение 6

p₁=1/6 n₁=2

2 вариант-выпадение 5

p₂=1/6 n₂=3

3 вариант-выпадение любой грани, кроме 5 и 6

p₃=4/6 n₃=5
P(2,3,5)-? (вероятность события, о котором говорится в условии задачи)

Проведём расчёт по формуле для полиномиальной схемы:

Задача на полиномиальную схему

Условие

Найти вероятность того, что среди 10 случайным образом выбранных человек у четырёх дни рождения будут в первом квартале, у трёх – во втором, у двух – в третьем и у одного – в четвёртом.

Решение:

Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче.

Переформулируем задачу в терминах полиномиальной схемы:

n=10 –число испытаний =числу людей

m=4 – число вариантов, которые мы различаем в каждом испытании

^ 1 вариант-рождение в 1 квартале

p₁=1/4 n₁=4

2 вариант-рождение во 2 квартале

p₂=1/4 n₂=3

3 вариант- рождение в 3 квартале

p₃=1/4 n₃=2

4 вариант- рождение в 4 квартале

p₄=1/4 n₄=1

P(4,3,2,1)-? (вероятность события, о котором говорится в условии задачи)

Предполагаем, что вероятность родиться в любом квартале одинакова и равна 1/4. Проведём расчёт по формуле для полиномиальной схемы:

Задача на полиномиальную схему

Условие

В урне 30 шаров : 10 белых, 5 зелёных, 8 синих и 7 жёлтых (шары различаются только цветом). Из урны случайным образом выбирают 10 шаров с возвращением. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет:3 белых, 2 зелёных, 4 синих и 1 жёлтый.

Решение:

Обозначим через А событие вероятность которого требуется найти в задаче.

Переформулируем задачу в терминах полиномиальной схемы:

n=10 –число испытаний = числу выбранных шаров

m=4 – число вариантов, которые мы различаем в каждом испытании

^ 1 вариант- выбор белого шара

p₁=1/3 n₁=3

2 вариант- выбор зелёного шара

p₂=1/6 n₂=2

3 вариант- выбор синего шара

p₃=4/15 n₃=4

4 вариант- выбор жёлтого шара

p₄=7/30 n₄=1

P(3,2,4,1)-? (вероятность события, о котором говорится в условии задачи)

p₁, p₂_,p_3,p₄не меняются от опыта к опыту так как выбор производится с возвращением

Проведём расчёт по формуле для полиномиальной схемы:

^ Гипергеометрическая схема

Пусть имеется n элементов k типов :
n₁первого типа

n₂второго типа
…….
n_kk-го типа
Причём

Из этих n элементов случайным образом без возвращения выбирают m элементов
Рассмотрим событие A(m₁,…,m_k), состоящее в том, что среди выбранных m элементов будет

m₁первого типа

m₂второго типа

…….
m_kk-го типа

Причём

Вероятность этого события рассчитывается по формуле
P(A(m₁,…,m_k))=

(4.11)

Пример 1.
^

Задача на гипергеометрическую схему (образец к задаче 1.9 Д.з)

Условие

В урне 30 шаров : 10 белых, 5 зелёных, 8 синих и 7 жёлтых (шары различаются только цветом). Из урны случайным образом выбирают 10 шаров без возвращения. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет:3 белых, 2 зелёных, 4 синих и 1 жёлтый.

У нас n=30, k=4,

n1=10, n2=5,n3=8,n4=7,

m=10

m1=3, m2=2,m3=4,m4=1
P(A(3,2,4,1))=

= можно досчитать до числа зная формулу для сочетаний

Пример 2.

Пример расчёта по этой схемы: см. расчёты для игры Спортлото (тема 1)

	Задачник-минимум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»... Операции со случайными событиями. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики:...		Модуль к теме: «Формула полной вероятности, формула Бейеса» (М5) Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь с формулой полной вероятности и формулой Бейеса
	Стандартная схема операционного усилителя Поэтому они строятся в основном по двухкаскадной схеме. Упрощенная схема "классического" двухкаскадного оу mА741 (полная схема включает...		Модуль к теме: «Схема испытаний Бернулли» Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь с формулой Бернулли, научитесь вычислять вероятность, используя данную формулу
	Проекта Структурная схема устройства, структурная схема микроконтроллера, бжд, экономическая часть, блок схемы алгоритмов, can, Ethernet,...		Организационная (территориальная) схема Настоящая Схема разработана в соответствии с федеральными, региональными нормативными правовыми актами в области образования, регламентирующими...
	«Сбыт» Схема иллюстрирует современную организационную структуру предприятия, а схема – схему управления, предлагаемую к построению. Здесь...		Урок Биология- наука о жизни, связь с другими науками. Значение биологии Задачи Оборудование: таблица-схема: «Комплекс биологических наук и межпредметных дисциплин», таблица- схема «Царства живой природы»
	2. Выполнить функциональный анализ системы автоматического регулирования (сар) Функциональная схема (блок схема) – это совокупность функциональных блоков, которые представляют собой конструктивно обособленные...		Схема с общей базой При проектировании усилителей на биполярных транзисторах входной переход транзистора всегда включают в прямом направлении, а выходной...

Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Гипергеометрическая схема

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Пусть имеется полная группа несовместных событий :

События называются гипотезами. Гипотезы выдвигаются относительно той части эксперимента, в которой присутствует неопределённость.

, где -априорные вероятности гипотез

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Условие

Результат предыдущего испытания не влияет на следующие испытания.

Следствие 2

n=10 число испытаний

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА

Формула для расчёта вероятностей по полиномиальной схеме

Задача на полиномиальную схему

Решение:

Задача на полиномиальную схему

Условие

Решение:

Задача на полиномиальную схему

Условие

Решение:

Задача на гипергеометрическую схему (образец к задаче 1.9 Д.з)

Условие

Похожие: