Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением




Скачать 466,06 Kb.
НазваниеТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
страница3/4
Дата публикации29.08.2013
Размер466,06 Kb.
ТипРеферат
pochit.ru > Математика > Реферат
1   2   3   4

Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Энергия сигнала: Es = s2(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85. Норма: ||s(n)|| =  9.22

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E =[u(t)+v(t)]2 dt = Eu + Ev + 2u(t)v(t) dt. (2.2.5)

Как следует из этого выражения, энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

Euv = 2u(t)v(t) dt. (2.2.6)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

Euv = 2 u(t), v(t). (2.2.6')

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

wxy(t) = x(t) y*(t), (2.2.7)

wyx(t) = y(t) x*(t),

wxy(t) = w*yx(t).

Для вещественных сигналов:

wxy(t) = wyx(t) = x(t) y(t). (2.2.8)

С использованием выражений (2.2.7-2.2.8) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

2.3. пространства функций [1,3,11,16,29].

Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как на бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L2[a, b] определяется выражением:

||s(t)|| =.

Чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов такое понятие не всегда удобно, и вместо него часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала [a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак :

||s(t)|| =, ||sn|| =.

Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

(s, v) =, (s, v) = 

Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности (стандартный индекс погрешности в абсолютных единицах измерений - ) выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Нормированное скалярное произведение сигналов:

s(t), v(t) = s(t)v(t) dt = ||s(t)|| ||v(t)||cos .

sn, vn =(1/N)sn vn = ||sn||||sn||cos .

Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами (функциями) не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину одного периода Т.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение

u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен  = 90о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos , и имеют нулевую энергию взаимодействия (Euv = 0).



Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство L2[a, b], в качестве координатного базиса пространства мы можем использовать совокупность функций {u0(t), u1(t), u2(t), …}, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {uk(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

um(t), un(t) =um(t) un(t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m  n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

um(t), um(t) = ||um(t)||2 =(um(t))2 dt = 1, ||um(t)|| = 1, m = 1, 2, ....

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

um(t)·un*(t) dt = m,n.

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд. Произвольный сигнал s(t)  H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций uk(t)

s(t) =ckuk(t). (2.3.2)

Для нахождения значений коэффициентов сk умножим обе части данного выражения на базисную функцию um(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим

s(t)um(t) dt =ck umuk dt.

С учетом ортонормированности функций ui(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при ukuk dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление

ck =s(t)uk(t) dt. (2.3.2)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты сk представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления uk(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов ck обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

x(t), y(t)=x(t)y(t) dt =[anun(t)] [bmum(t)] dt =anbn. (2.3.3)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):

cos  =anbn /(||x(t)||||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

- для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

- при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

- базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

- коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < , |s'(t)| dt <  .

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных функций гармонические функции и функции Уолша.

На интервале [-, ] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

{1, sin t, sin 2t, …, sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4)

Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

1, sin kt=(1/2)sin kt dt = k= 1, 2, 3, …

sin mt, sin nt=(1/2)sin mt sin nt dt = 0, при m  n.

Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt||2 = (1/2)sin2 kt dt = 1/2.

||sin kt|| = 1/, k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2):

{1, uk(t) =sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4')



Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.

Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

{1, uk(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, …, (2.3.5)

и объединенной синус-косинусной системы:

{1, uk(t) =sin kt, uk(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.6)

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jt) = cos(t) + j sin(t), exp(-jt) = cos(t) - j sin(t),

cos(t) = [ехр(jt)+exp(-jt)]/2, sin(t) = [ехр(jt)-exp(-jt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин "частотное разложение" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.




Рис. 2.3.3. Функции Уолша.
Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только 1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша wal(k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х), – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

Es =s2(t) dt =cmcnumun dt =cmcn umun dt. (2.3.7)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда

Es =s2(t) dt =cn2, (2.3.8)

т.е. при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.
1   2   3   4

Похожие:

Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconПрограмма вступительного экзамена по специальности 05. 12. 04. Радиотехника,...
Информация, сообщение,сигнал. Пространство сигналов. Математические и линейные пространства сигналов. Дискретные представления сигналов....
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconАнатолий Васильевич Давыдов
На примерах обработки геофизических данных показано, что модовая декомпозиция сигналов обеспечивает устойчивую адаптивную очистку...
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением icon1 Метрология – наука об измерениях
Метрология отрасль науки, изучающая измерения. Слово «метрология» образовано из двух греческих слов: «метрон» — мера и «логос» —...
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconМетодичка 8-3 «Электростатика» Тема 8-3
Что такое электрический заряд? Как обозначается, в каких единицах измеряется эта физическая величина?
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconЗадача 13,1
Если, то, и тогда (см задачу 11,4 — основание степени по абсолютной величине меньше 1). Значит, — бесконечно малая величина, а потому...
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением icon1. Формирование элементарных сигналов и вычисление их спектров. 2
По текстовым файлам «Формирование сигналов в среде Mathcad» и «Спектральный анализ сигналов» ознакомиться со способами формирования...
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconВыберите один правильный ответ
А физическая величина, характеризующая способность тел к электрическим взаимодействиям
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconКонтрольная работа по теме: «Электростатика»
Физическая величина, характеризующая способность тела к электрическим взаимодействиям
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconИнформационные процессы
Вся информация, поступающая к человеку, состоит из сигналов. Известно, что таких сигналов человек получает значительно больше, чем...
Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением iconМетодичка 8-3 «Электростатика»
Что такое электрический заряд? Как обозначается, в каких единицах измеряется эта физическая величина?
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница