Лекция 12




Скачать 77,84 Kb.
НазваниеЛекция 12
Дата публикации28.08.2013
Размер77,84 Kb.
ТипЛекция
pochit.ru > Математика > Лекция




Глава IV.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лекция 12.
4.1. Численное дифференцирование.
Различают 3 вида задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): задача Коши, краевая задача и задача на собственные значения. В данной главе мы более подробно изучим численные методы решения задачи Коши.

Вначале приведем и обсудим формулы численного дифференцирования. Существует два подхода к выводу формул численного дифференцирования.

1. Интерполяционный подход.

Полагаем

,

где - интерполяционный многочлен Лагранжа,

,

причем остаточный член формулы дифференцирования выражается через

Недостаток:

при стремлении получить достаточно высокую точность приходится использовать большое количество узлов, в которых вычисляется значение функции. Если функция задана таблично, то такой подход приемлем.

2. Конечно-разностная аппроксимация, основанная на Тейлоровском разложении.

Рассмотрим этот подход более подробно.

Пусть задана сетка , где h - шаг сетки

Теорема 1.

Имеют место следующие утверждения:

Пусть

. (1)

. (2)



. (3)


(4)

Для определенности докажем (4):

используем тейлоровское разложение в точках x1 и x-1

.

Складывая эти две формулы, получим

.

В силу непрерывности четвертой производной



.

Замечание.

Формулы (1), (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования.

При этом

формула (1) - определяет правую разностную производную и имеет порядок точности ,

формула (2) – определяет левую разностную производную и имеет порядок точности ,

формула (3) - определяет центральную разностную производную первого порядка и имеет порядок точности ,

формула (4) - определяет центральную разностную производную второго порядка и имеет порядок точности .
^ 4.2.Численные методы решения задачи Коши.
Задача для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом

(5)

Более общая постановка задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка

(6)

Здесь - заданные числа (начальные условия).

Задача (6) с помощью замены переменных

,

.

сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(7)

Систему (7) можно переписать в векторном виде:

, где (8)

,

,

.

Система (8) исследуется и решается аналогично одномерной задаче Коши (5), поэтому важно изучить, прежде всего, численные методы решения задачи (5).

В курсе математического анализа формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи Коши. Отметим, что для выполнения теоремы необходимо и достаточно, чтобы функция имела непрерывные частные производные в замкнутой ограниченной области на плоскости .

Будем искать решение задачи (5) в прямоугольниках

Введем сетку на оси

,





Простейший итерационный процесс решения (5) на сетке получается, если аппроксимировать производную на сетке правой конечной разностью. Обозначая приближенное решение на сетке , получим



или

(9)

Итерационная процедура (9) называется “метод Эйлера” (или “метод ломаных”).

Дадим графическую иллюстрацию метода.





Начав движение из точки на точном решении , итерационное решение образует ломаную линию, каждый отрезок которой представляет собой касательную к кривой , проходящую через данную точку.
Например,

- уравнение касательной к u(x) в точке .

где u1(x1)-та интегральная кривая, которая проходит через точку (x1,y1).

Из рисунка видно, что ошибка растет с номером k. Выясним, каков порядок этой ошибки в сеточной норме
^ 4.2.1. Оценка погрешности метода Эйлера.
Будем считать, что ошибка округления имеет порядок не меньший, чем . Тогда из (9) следует:

(10)

Разложим точное решение задачи (5) в точке с такой же точностью:

(11)

Вычтем(11) из (10) 

(12)

где

В силу условий теоремы существования и единственности частные производные ограничены в прямоугольнике :

Обозначим и оценим (12) по модулю

(13)

по условию.

Обозначим

(14)
Теорема 2.

Для метода Эйлера имеет место следующая оценка погрешности:

(15)

Из (13) следует (рекурсия назад)



Используя алгебраическое тождество



получаем

(16)

(В последнем неравенстве использовано свойство второго замечательного предела)

Учитывая, что



получим

,

т.е. оценку (15).

Замечание.

Из соотношения (16) следует, что

  1. 1. Ошибка растет с номером шага k.

  2. 2. Порядок ошибки в методе Эйлера .


^ 4.2.2.Методы Рунге-Кутта.
Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши (4), характеризуемая следующими условиями:

  1. Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке . Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры

, (17)

где выражается через значения функции в точке или близким к ней (сдвинутым на долю шага).

2. Процедура (16) согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где p -порядок метода.

3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка.

Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый порядок точности. Рассмотрим один из примеров повышения порядка точности метода Рунге-Кутта (16) до второго порядка.

Представим в виде следующей линейной комбинации

.

Разложим функцию в точке в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно

.

Подставляя эти формулы в (16) , получим:

. (18)

(все входящие в правую часть функции берутся в точке )

Аналогичное разложение по Тейлору напишем для функции , используя уравнение

. (19)

Требуя совпадения коэффициентов разложений (18) и (19) при одинаковых степенях h, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов :

(20)

Система (20) недоопределена. Поэтому один из коэффициентов можно задать произвольно.

Например, положим .

Решая (20), получим

.

Итерационная процедура (17) приобретает вид

. (21)

Учитывая результат теоремы 2, заключаем, что точность этого метода , т.е. данный метод - второго порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи процедуры (21).



Отбрасывая погрешность, получаем

. (22)

Полученный метод Рунге-Кутта носит название “предиктор-корректор”. Чтобы прояснить смысл этого названия разобьем процедуру (22) на два этапа:



На первом этапе “предсказываем” значение по методу Эйлера. На втором этапе это значение корректируется путем усреднения угловых коэффициентов в точках и . За счет коррекции, точность данного метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.



Согласно (21) , получаем

. (23)

Обозначим

.

Тогда (23) разбивается на два этапа:

На первом этапе находим - прогнозируемое значение на половинном шаге от точки по методу Эйлера.

Вычисляем наклон интегральной кривой в точке , и на втором этапе, двигаясь по касательной с данным угловым коэффициентом из точки () в точку (), получаем окончательно Полученный метод носит название “модифицированный метод Эйлера”.

Замечание 1.

Существуют процедуры Рунге-Кутта повышенной точности (порядка 3, 4, 5…). Например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (наиболее употребляемый на практике) сформулирован следующим образом



где

(24)

Если , то погрешность процедуры .

Замечание 2.

При практическом применении методов Рунге-Кутта возникает вопрос: какой формулой пользоваться на практике? Если априори известно, что - достаточно гладкая функция, например, , то наиболее эффективна процедура (24). Если же гладкость функции недостаточна, то лучше использовать методы второго и третьего порядка.

Замечание 3.

В среде МАТЛАБ реализованы две процедуры Рунге-Кутта:

ode23 – метод второго и третьего порядка

и ode45 - метод четвертого и пятого порядка.

В лабораторной работе 7 предусмотрено знакомство с этими командами.

Похожие:

Лекция 12 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...
Лекция 12 iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир...
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой
Лекция 12 iconЛекция одиннадцатая. Постиндустриальный мир как замкнутая хозяйственная...
Лекция четвертая. Трансформация производственных отношений постиндустриального общества. 25
Лекция 12 iconЛекция 1
Лекция Мировая экономика. Возникновение, сущность и основные тенденции ее развития
Лекция 12 iconЛекция №6
Лекция №6 Вредные вещества и их воздействие на человека. Основы промышленной токсикологии
Лекция 12 iconЛекция №5
Лекция №5 Вредные вещества и их воздействие на человека. Основы промышленной токсикологии
Лекция 12 iconЛекция Информатика как наука и учебный предмет в школе с. 3-7 Лекция...
Введение в 1985 г в среднюю школу отдельного общеобразовательного предмета «Основы информатики и вычислительной техники» дало старт...
Лекция 12 iconЛекция Предмет и метод экономической социологии Лекция Основные направления...
Зачет ставится в том случае, если студент набирает 4 и более баллов по 10-ти балльной системе
Лекция 12 iconЛекция Предмет и метод экономической социологии Лекция Основные направления...
Зачет ставится в том случае, если студент набирает 4 и более баллов по 10-ти балльной системе
Лекция 12 iconЛекция Лекция-диалог
Скоординировать работу библиотеки со всеми структурами учреждений образования, библиотеками рцбс
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница