Решение. Из теоремы косинусов




Скачать 31,03 Kb.
НазваниеРешение. Из теоремы косинусов
Дата публикации20.08.2013
Размер31,03 Kb.
ТипРешение
pochit.ru > Математика > Решение
Математика
11 класс.

1.Докажите, что если котангенсы углов треугольника образуют арифметическую прогрессию, то и квадраты сторон этого треугольника образуют арифметическую прогрессию. ( 6 баллов)

Решение. Из теоремы косинусов: a2 – b2 = ac × cos B – bc × cos A.

Из теоремы синусов: bc = 2S / sin A, ac = 2S / sin B.

Из этих соотношений (и аналогичных им):

b2 – a2 = 2S × (ctg A – ctg B),

c2 – b2 = 2S × (ctg B – ctg C).

Так как котангенсы углов образуют арифметическую прогрессию, то

b2 – a2 = c2 – b2.

Значит, квадраты сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

2. Доказать, что если натуральное число p = 100a + 10b + c делится на 37, то и числа q = 100b + 10c + a и r = 100c + 10a + b также делятся на 37 (числа a, b, c — натуральные).

( 6 баллов)

Решение. Пусть p = 100a + 10b + c = 37k.

Тогда q = 100b + 10c + a = 10p – 999a = 370k – 37 ×  27a.

Значит, число q делится на 37.

Аналогично доказывается, что r = 100c + 10a + b делится на 37.
3. Найти наибольшее натуральное число n, для которого система неравенств

1 < x < 2, 2 < x2 < 3, …, n < xn < n + 1

имеет решение. ( 6 баллов)

Решение. Ответ: n = 4.

Перепишем неравенства в виде:



В силу того, что рассматриваем положительные значения x, эта система эквивалентна исходной.

Так как 35 > 63, то при n = 5 указанная система уже несовместна: интервалы и не пересекаются.

При n = 4 несложно подобрать значение x, удовлетворяющее всем четырем неравенствам (например, x = 1,45).

4. Доказать, что для любых натуральных чисел m и n, больших 1, хотя бы одно из чисел и не превосходит . (6 баллов)

Р е ш е н и е. Ясно, что без ограничения общности можно считать, что mn  2. При этом  . В таком случае достаточно доказать неравенство

 

или, другими словами, n1/n  31/3. Заметим, что для n = 2 неравенство 21/2  31/3 верно, поскольку при возведении обеих частей в шестую степень получаем 8 < 9. Вычисляя натуральный логарифм от обеих частей неравенства , получаем, что достаточно доказать неравенство для всех n  3. Рассмотрим функцию f(x) = , x > 0. Имеем производную f (x) = . Если x  3 > e, то ln x > ln 3 > 1, следовательно, f (x) < 0. Это означает, что при x  3 функция f(x) убывает, так что при n  3 выполняется f(n)  f(3), что доказывает неравенство.

5. Доказать, что если все двугранные углы тетраэдра острые, то и все плоские углы острые.

(6 баллов)

Р е ш е н и е. Докажем сначала, что если все двугранные углы выпуклого трёхгранного угла острые, то и все плоские углы острые. Доказываемое утверждение будет следовать отсюда непосредственно. Действительно, каждый плоский угол тетраэдра входит в какой-либо его трёхгранный угол, все двугранные углы которого по условию острые. Следовательно, и каждый плоский угол такого тетраэдра будет острым.

Пусть ^ SABCD – данный выпуклый трёхгранный угол с вершиной S. Все его плоские углы меньше 180, так как выпуклый трёхгранный угол лежит внутри каждого своего двугранного угла. Двугранные углы B(SA)C и B(SC)A – острые, поэтому проекция SH ребра SB на плоскость SAC лежит между лучами SA и SC, т.е.





Рис. 1

Рис. 2

внутри грани ^ SAC (см. рис. 1). Поскольку ASC <  180, то, по крайней мере, либо ASH < 90, либо CSH < 90. Для определённости будем считать, что ASH < 90.

Через точку S проведём плоскость S SE, перпендикулярно прямой AS (см. рис. 2). Очевидно, трёхгранный угол SABH лежит внутри прямого двугранного угла A(S S)E. Продолжим грань SBA до пересечения с плоскостью SSE по прямой SD. Так как ASSSE, то ASSD, но ASB лежит внутри прямого угла ASD. Следовательно, ASB – острый.

Таким образом, исходя из того, что ASC < 180 и ASH < 90, мы получили, что ASB – острый. Повторяя эти рассуждения для ASB < 180, получим, что ASC < 90 и затем BSC < 90.

Похожие:

Решение. Из теоремы косинусов iconЧислах
Так в чем же дело? Быть может П. Ферма слукавил, утверждая, что он нашел «удивительнейшее доказательство» данной теоремы? А, быть...
Решение. Из теоремы косинусов iconЗадачник-минимум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Операции со случайными событиями. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики:...
Решение. Из теоремы косинусов iconЭкзаменационные вопросы по курсу «оду» для потока Т3 (лектор доц. В. Б. Шерстюков)
Понятие оду, его порядка, частное и общее решение. Примеры (уравнения Ньютона, Риккати). Формулировка теоремы существования и единственности...
Решение. Из теоремы косинусов iconУроки 1-2 Тема: "Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена"
...
Решение. Из теоремы косинусов iconРешение задач с применением теоремы Виета для уравнений высших степеней 15
Про математику, ее историю, ее особенности, ее неповторимую красоту можно говорить бесконечно. Любовь к этой науке становится еще...
Решение. Из теоремы косинусов iconИсследовательская работа по математике
Предмет исследования – классические задачи древности, теоремы, исторические факты изучения окружности, круга
Решение. Из теоремы косинусов icon3. Закон электромагнитной индукции в формулировке Максвелла 5
Формулировка теоремы о магнитном напряжении с учётом наличия переменного электрического поля 5
Решение. Из теоремы косинусов iconУрок-конференция на тему: «Теорема Пифагора»
Цель урока: познакомить учащихся с творческой деятельностью ученого, с доказательствами теоремы и ее применением в решении задач
Решение. Из теоремы косинусов iconВ. С. Ярош немодулярные эллиптические кривые
Известно, что доказательство Последней теоремы Пьера Ферма (птф) основано на гипотезе Шимуры-Таниямы, которая утверждает
Решение. Из теоремы косинусов iconРешение вопросов «что, как и для кого производить?»
Х для производства; решение вопроса о технологии производства и его организации; максимизация прибыли; решение вопроса об использовании...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница