Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора




Скачать 99,85 Kb.
НазваниеУрок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора
Дата публикации07.08.2013
Размер99,85 Kb.
ТипУрок
pochit.ru > Математика > Урок
Открытый урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора

Цели урока:

Образовательные:

  • расширить круг геометрических задач, решаемых с помощью теоремы Пифагора;

  • познакомить учащихся с историей теоремы, этапами жизни и деятельности Пифагора Самосского;

  • осуществить межпредметные связи геометрии с алгеброй, литературой.

Развивающие:

  • способствовать развитию воображения;

  • способствовать развитию логического мышления.

Воспитательные:

  • воспитание учебно-познавательной активности;

  • воспитание культуры общения и диалога;

  • воспитание бережного отношения к научным мировым достижениям.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Опережающее задание: подготовить исторический материал о Пифагоре, теореме и ее доказательствах.

Структура урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Сообщение темы и целей урока.

  4. Мотивация.

  5. Изучение нового материала.

  6. Закрепление.

  7. Итог урока.

  8. Домашнее задание.

Оборудование урока:

  • чертежные инструменты;

  • мультимедийный проектор, слайды;

  • портрет Пифагора;

  • стенд с материалами о Пифагоре, теореме Пифагора.

Ход урока

I.Организационный момент: Здравствуйте, ребята!

II Актуализация знаний.


III Мотивация.

… Прежде, чем приступить к изучению нового материала решим задачу:

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.

Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Практическая работа исследовательского характера: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 8 см и 15 см и измерить гипотенузу.

Результаты занести в таблицу.

а

12

6

8

b

5

8

15

с

13

10

17


Выразите формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках (школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются).

IV Сообщение темы и целей урока.
Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа, его подготовил(а) …

Выступление учащегося.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".

— Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)

— А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)

Действительно, это шуточная формулировка теоремы.

В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

— Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 4)?

Рис. 4

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 5).



Рис. 5

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 6 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Рис. 6

Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис. 7).


Рис. 7

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие как на рис. 8, рис. 9:

Рис. 8, 9

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста (предлагаю вам найти другие доказательства теоремы Пифагора).

V Изучение нового материала:

1. А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

∆ АВС, <С = 90º,

а,b – катеты,

с – гипотенуза.

Доказать: с2 = а2 + b2.


Д о к а з а т е л ь с т в о:

1. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b.

2. Sкв = (а + b)2.

3. Квадрат состоит из 4 прямоугольных треугольников со сторонами a.b.c и квадрата со стороной с, тогда Sкв = 4 × ½ × а × b + с2.

4. Значит, (а + b)2 = 2 ×а ×b + с2,

а2 + 2×а× b + b2 = 2 × а ×b + с2,

с2 = а2 + b2.



Итак,

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим

И таким простым путём К результату мы придём.


2. История переносит нас в древность. Чтобы окунуться в эту историю, мы с вами поступим, как древние Египтяне. Возьмите полоски бумаги, отложите от края по порядку 3 см, 4 см, 5 см. Согните по этим линиям, чтобы получился треугольник. Определите его вид. Действительно, это прямоугольный треугольник, который теперь называют Египетским. Египетским является так же треугольник со сторонами, пропорциональными 3, 4, 5. Например: 6, 8, 10; 9, 12, 15 и т.д

^ VI. Закрепление.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Решим устно несколько задач по готовым чертежам.

З а д а ч а №1

Рис. 12

Р е ш е н и е

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,

по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,

АВ2 = 82 + 62,

АВ2 = 64 + 36,

АВ2 = 100,

АВ = 10.

О т в е т: АВ = 10

З а м е ч а н и е.

Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна.Значит,АВ=10.
Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.

З а д а ч а №2

Рис. 13

Р е ш е н и е

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 13),

по теореме Пифагора: DE2 = 2 + CE2,

DC2 = DE2CE2,

DC2 = 52 – 32,

DC2 = 25 – 9,

DC2 = 16,

DC = 4. О т в е т: DC = 4

3. Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…

VII Подведение итогов урока. Оценивание (учитель выставляет оценки за работу на уроке и объявляет их).

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Этой теореме даже посвящены стихи. О  т е о р е м е  П и ф а г о р а

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна …

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова "Пифагор. А тем, кто желает не только больше узнать, но и рассказать другим, я предлагаю приготовить рефераты. Запишите домашнее задание: выучить материалы п. 63, 64, ответить на контрольный вопрос № 3 с. 113, решить задачи № 4, №7 с. 114. И ответить на вопрос: «Почему она долгое время называлась "теоремой невесты?»

Существовали различные формулировки теоремы Пифагора. (сл.№5 ) В древнем Китае: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

(сл. №6) У Евклида: "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

А у арабов: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

И последняя формулировка, которой будем пользоваться мы:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств теоремы очень много. Мы с вами воспользуемся доказательством индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:

c²=4ab/2+(a-b)²
c=2ab+a²-2ab+b²
c²=a²+b²

Теорема доказана. Разобрать по слайду, потом записать в тетрадь.

С помощью теоремы Пифагора решается множество задач, связанных с прямоугольным треугольником.

. Задача №1

Найти гипотенузу, если катеты равны 6 см

и 8 см.

Решение: c²=8² +6², с=10.

Задача №2

Найти диагональ квадрата, если его сторона равна 3 см, а см.

Решение: d=а²+а², d=2а².

Задача №3

Найти высоту равностороннего треугольника, если известна, что его сторона равна а.

Задача №4

У египтян была известна задача о лотосе. «На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну?»
^ Фрагмент учебного исследования



В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей.
З а д а ч а
Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор?

Существуют ли другие доказательства теоремы?


^ Эпиграф «Не клянись именем своего учителя, а приведи доказательство»

(древняя поговорка)

З а д а ч а №3

Рис. 14
Р е ш е н и е
Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 14). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM

прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:

KM2 = KL2 + KM2,

KM2 = 52 + 122,

KM2 = 169,

KM = 13.

О т в е т:
KM = 13

А теперь письменно решим следующую задачу.
З а д а ч а №4
Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см.
Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 15).

Рис. 15
Д а н о:

Δ АВС, BD – высота,

АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.
Н а й т и: ВС.

Р е ш е н и е
1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.
2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда

BD2 = AB2AD2,

BD2 = 202 – 162,

BD2 = 400 – 256,

BD2 = 144,

BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + 2, отсюда

BC2 = 122 + 92,

BC2 = 144 + 81,

BC2 = 225,

BC = 15.

О т в е т: сторона BC равна 15 см.

З а м е ч а н и е.

На втором этапе решения достаточно было найти ^ BD2 и подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + 2.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении с2 = а2 + b2.

Эпиграф «Умение решать задачи – такое же практическое искусство.

Ему можно научиться только путем подражания

или упражнения». (Дьердь Пойа)

Эпиграф: «Работайте и ищите, не надеясь на молитвы, и вы непременно найдете» (Якоб Штейнер)





Похожие:

Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconТеорема Пифагора вне школьной программы (исследовательская работа)
Теорема Пифагора притягивает исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики. Многие из них не довольствовались...
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок математики для 8-го класса. Урок проходит в игровой форме, все...
Пифагор и обучаются в школе Пифагора,узнают его заповеди,историю доказательства знаменитой теоремы и отрабатывают полученные знания...
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок-конференция на тему: «Теорема Пифагора»
Цель урока: познакомить учащихся с творческой деятельностью ученого, с доказательствами теоремы и ее применением в решении задач
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора icon«Теорема Пифагора»
Тип урока: урок изучения нового материала. ( по учебнику “Геометрия, 7–9”, учебник для общеобразовательных учреждений; Л. С. Атанасян...
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconПроект «Теорема Пифагора» «Древнекитайское доказательство»
Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико астрономических сочинений. В 9-й книге «Математики»...
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Фалеса"
Образовательная: доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок в 9 классе по теме «Силикатная промышленность»
Урок в 9 классе по теме «Силикатная промышленность». Разработан учителем моу «Мачешанская сош» Межовой Ириной Елисеевной
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок по теме Цели урока
Урок изобразительного искусства в 5 классе по теме: "Искусство Гжели. Истоки и современное развитие промысла"
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconМетодическая разработка к уроку «Теорема Пифагора»
Информация об участии учащихся моу сош №89 в городских, областных, межрегиональных, российских мероприятиях в 2009-2010 уч году
Урок в 8 классе по теме: Теорема Пифагора iconУрок алгебры в 8 классе Тема: Теорема Виета
Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в новой ситуации
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница