Долгов Александр Иванович




Скачать 104,78 Kb.
НазваниеДолгов Александр Иванович
Дата публикации30.06.2013
Размер104,78 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Математика > Документы


Долгов, А. И. Оценка интегральных условных вероятностей [Электронный ресурс] / А. И. Долгов // Режим доступа: http://www.fan-nauka.narod.ru/2011.html, свободный. (0,5 п.л.)
Долгов Александр Иванович,

доктор технических наук, профессор, старший научный сотрудник

Ростовского военного института Ракетных войск
Оценка интегральных условных вероятностей
(05.26.00 – безопасность деятельности человека)
Обосновывается применимое при построении экспертных систем соотношение для оценки интегральных апостериорных условных вероятностей гипотез, характеризующих оцениваемую угрозу. Гипотезы образуют полную, либо неполную группу, при этом могут быть независимыми и условно независимыми, несовместными и совместными. Исходными априорными данными являются статистические вероятности независимых и условно независимых гипотез и подтверждающих рассматриваемые гипотезы накапливаемых независимых и условно независимых свидетельств об опасностях.

Ключевые слова: гипотезы и свидетельства об опасности, интегральные, условные статистические вероятности.
Введение.
При построении экспертных систем широко используются формула Байеса [1: 50] и её обобщения, считающиеся (см., например, [2: 162]) применимыми к оценкам не только объективных и статистических, но и субъективных вероятностей, которые могут иметь трактовки в отношении уровней доверия, принадлежности, правдоподобия, достоверности и уверенности.

При оценке апостериорных условных вероятностей полной группы несовместных событий-гипотез (далее гипотез) (i=1,…,n) при накапливаемых событиях-свиде­тельствах (называемых далее свидетельствами) (j=1,…,m), используются формулы, в которых реализуется традиционно применяемый мультипликативный учёт (произведения) накапливаемых событий-свиде­тельств.
1. Анализ возможностей существующих методов определения условных вероятностей.
Наиболее известна формула Байеса, которая в случае m условно независимых свидетельств имеет вид

.

Довольно широко применяется эквивалентная формуле Байеса формула Нейлора [3: 235], записываемая в виде

,

применимая для рекуррентных вычислений. В случае накапливания свидетельств, вычислив апостериорную вероятность гипотезы для одного учитываемого свидетельства [3: 236], “мы забываем об этом, за исключением того, что априорная вероятность заменяется на P(Н:E). Затем продолжается выполнение программы, но с учётом постоянной коррекции значения по мере поступления новой информации” (очередных свидетельств).

Накапливание свидетельств может быть учтено иначе, а именно с использованием формулы, приведенной в публикации Змитровича [2: 179], соответственно которой



.

Следует отметить, что в связи с отказом при построении формулы от допущения об условной независимости накапливаемых свидетельств, в данном случае требуется существенно большее количество априорных данных.

Представляет научный и практический интерес построить по аналогии с известными формулами соотношение для расчёта условных вероятностей как независимых, так и условно независимых гипотез, которые могут быть несовместными и совместными, с учётом накапливаемых как независимых, так и условно независимых совместных свидетельств.

При построении формулы будет использован принцип сохранения соотношений исходных вероятностей, представляющий объективную основу теории вероятностей, однако не нашедший необходимого отражения в современной учебной и научно-технической литературе.

В основу излагаемых далее утверждений положим известное ([1: 16]) определение вероятности: “Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможное событие. Такое число называется вероятностью события”.

Судя по приведенному определению, понятие вероятностей введено для того, чтобы “количественно сравнивать между собой события по степени их возможности” [1: 16], то в целях измерения не абсолютных, а относительных значений, характеризующих возможности различных событий.

При совместной обработке вероятностей той или иной группы событий не должны нарушаться выражаемые ими соотношения степеней возможности событий, характеризуемые соотношениями полученных (например, при наборе статистики) исходных вероятностей, что и отражает формулируемый далее принцип сохранения соотношений исходных вероятностей.

Исходные вероятности – определённые при условии учёта одних и тех же факторов числа, характеризующие “степень возможности” [1: 16], входящих в генеральную совокупность событий, либо комбинаций событий.

Любая рассматриваемая группа событий (подгруппой которой может оказаться и полная в теоретико-вероятностном смысле группа) выбирается из генеральной совокупности событий (характеризуемых исходными статистическими вероятностями) субъективно.

Пусть для генеральной совокупности событий, включающей полные множества рассматриваемых гипотез (k=1,…, n), а также свидетельств (j=1,…,m), получены в результате набора статистики исходные вероятности и .

Нормирование вероятностей событий относительно любой выбираемой (рассматриваемой) их группы заключается в умножении каждой из ненормированных исходных вероятностей (k=1,…,n) событий, входящих в состав группы, на коэффициент нормирования , приводящий сумму значений соответствующих дополнительно нормированных вероятностей , к величине, равной 1, то есть к .

Из приведенного определения следует, что , и исходная вероятность (как число) после дополнительного нормированная принимает новое нормированное значение , при этом соотношение дополнительно нормированных вероятностей (как степеней возможности) различных событий (например, и ) сохраняются равными соотношениям исходных вероятностей (и ).

^ Принцип сохранения соотношений исходных вероятностей: корректная обработка вероятностей субъективно выбираемой группы событий и(или) их комбинаций осуществима лишь при условии нормирования рассматриваемых вероятностей относительно данной группы с сохранением соотношения, равного соотношению соответствующих им исходных вероятностей.

При нарушении сформулированного принципа искажаются сведения о “степени … возможности” [1: 16] рассматриваемых событий и их комбинаций, и получаемые на основе искажённых сведений результаты и принимаемые решения оказываются не адекватными исходным (например, реальным статистическим) данным.

Из принципа сохранения соотношений исходных вероятностей следует

Утверждение (о применимости формулы Байеса и её обобщений к неполной группе гипотез): соотношение апостериорных условных вероятностей в любой подгруппе учитываемых гипотез полной группы при использовании формулы Байеса сохраняется равным соотношению апостериорных условных вероятностей гипотез полной группы.

Справедливость такого утверждения является очевидной, если учёсть то, что соотношение нормированных значений любых показателей не зависит от величины коэффициента нормирования.

Следовательно, можно определять требуемые для решения прикладной задачи соотношения апостериорных условных вероятностей учитываемых гипотез, не зная как априорные условные вероятности не учитываемых гипотез, так и априорные условные вероятности свидетельства, подтверждающего не учитываемые гипотезы, при этом частный случай, когда учитываемыми являются все гипотезы полной группы, оказывается соответствующим теореме Байеса.

Заключая сказанное, проиллюстрируем применение принципа сохранения соотношений исходных вероятностей к решению прикладной задачи оценки обстановки, когда все гипотезы и накапливаемые свидетельства характеризуют различные аспекты опасности.

Сравнение уровней опасности при одном свидетельстве и при получении ещё одного свидетельства (j=1,…,2) об опасности при использовании традиционного подхода осуществляется на основе определения отношения апостериорных условных вероятностей

,

при этом вычисления и осуществляются с использованием разных коэффициентов (с нарушением при конкретно решаемой прикладной задаче принципа нормирования).

Специфика решаемой прикладной задачи такова, что уровни опасности, а, следовательно, и характеризующие их апостериорные условные вероятности гипотез при получении любого свидетельства могут только увеличиваться.

Однако при решении задачи традиционными методами ввиду того, что гипотезы образуют полную группу, увеличение апостериорной условной вероятности некоторой гипотезы возможно лишь за счёт уменьшения вероятности другой гипотезы. Такое обстоятельство противоречит специфике решаемой прикладной задачи и свидетельствует неадекватности получаемых результатов характеру оцениваемой обстановке.

Таким образом, применение традиционных методов определения условных вероятностей для решения прикладной задачи оценки обстановки с учётом различных аспектов опасности приводит к неадекватным результатам.

Следует отметить, что при корректном нормировании (с соблюдением принципа сохранения соотношения исходных вероятностей) коэффициент нормирования должен быть равен , где ,

при этом соотношения апостериорных условных вероятностей неодинаковых гипотез (с условными номерами i1 и i2) при одном и двух свидетельствах (j=1,…,2) оказываются соответственно равными

,

и ,

то есть не отличаются от традиционных.
2. Формула интегральной условной вероятности.
Интегральные вероятности находят довольно широкое применение при решении прикладных задач, связанных с накапливающимися изменениями обстановки, представляющими, например, нарастающие угрозы, риски, потери и другие опасности.

Интегральная вероятность определяется в виде суммы дифференциальных (суммируемых) вероятностей, задаваемых рассматриваемым распределением.

Ранее рассмотренные известные методы определения апостериорной условной вероятности гипотезы реализуют мультипликативный учёт накапливаемых свидетельств , при котором значение условной вероятности каждой гипотезы получается для пересечения свидетельств, что приводит к уменьшению вычисляемого (с соблюдением принципа сохранения исходных вероятностей) значения апостериорной условной вероятности гипотезы при накапливании свидетельств.

В ряде прикладных задач, в частности, в задачах оценки опасности, более адекватному вычислению апостериорной условной вероятности может соответствовать переход от мультипликативного учёта свидетельств к аддитивному учёту, при котором значение искомой условной вероятности получается не для пересечения, а для объединения свидетельств, причём с поступлением каждого нового свидетельства (об увеличении опасности) такое значение возрастает, что соответствует определению интегральной условной вероятности.

Для получения интегральной апостериорной условной вероятности каждой из совместно оцениваемых гипотез (i=1,…,n) с аддитивным учётом накапливаемых свидетельств (j=1,…,m) может быть использовано следующее соотношение:

,

где - признак поступления j-го свидетельства. Суммарное значение оцениваемых интегральных вероятностей всех рассматриваемых гипотез об уровнях угрозы при накапливании свидетельств изменяется в пределах от 0 до 1.

В случаях независимых гипотез и независимых свидетельств, а также в тех случаях, когда зависимости гипотез и зависимости свидетельств являются настолько несущественными, что ими можно пренебречь, применимость предлагаемой формулы не вызывает никаких сомнений.

Более существенно то, что при использовании статистических вероятностей апостериорные условные вероятности каждой комбинации гипотез и свидетельств определяются на основе заблаговременно определяемых априорных данных – статистической вероятности каждой гипотезы и условной статистической вероятности свидетельства при подтверждении гипотезы. Априорные статистические данные получаются в реальных условиях, то есть с учётом всех существующих зависимостей. При таких обстоятельствах, когда статистические данные для всех комбинаций гипотез и свидетельств определяются независимо, апостериорно рассматриваемые комбинации следует рассматривать в качестве условно независимых. В самом деле, для любых комбинаций гипотез и свидетельств определяемая на основе априорных данных, представляющих собой конкретные числа, апостериорная условная “вероятность … не зависит от того, произошло…” (другое) “…событие или нет” [1: 39]. Это является полным основанием для утверждения о том, что применение предлагаемой формулы является вполне корректным и в случаях определения интегральных апостериорных условных статистических вероятностей как независимых, так и зависимых гипотез (принимаемых за условно независимые), которые могут быть несовместными и совместными, при накапливаемых как независимых, так и зависимых (принимаемых за условно независимые) совместных свидетельствах.

В частном случае учёта одного () и только одного допустимого свидетельства (когда m=1), ввиду того, что в числителе получаем , а в знаменателе предложенная формула интегральных вероятностей совпадает с формулой Байеса.
Выводы.
1) Формула Байеса и её обобщения применимы не только к полной группе несовместных гипотез, но и к неполной группе гипотез.

2) Применение традиционных методов мультипликативного учёта априорных условных вероятностей при решении прикладных задач оценки обстановки с накоплением свидетельств о различных аспектах опасности приводит к неадекватным результатам.

3) При определении интегральных условных вероятностей гипотез адекватная обработка накапливаемых свидетельств осуществима при условии перехода от мультипликативного учёта априорных вероятностей к аддитивному.

4) Предлагаемая формула интегральной условной вероятности является теоретическим обобщением формулы Байеса на случай неполной (в частном полной) группы, включающей комбинации как независимых, так и условно независимых гипотез, которые могут быть несовместными и совместными, при задаваемых вероятностях накапливаемых как независимых, так и условно независимых совместных свидетельств.

5) На основе определения условных вероятностей гипотез с использованием возможностей не только традиционного мультипликативного учёта накапливаемых свидетельств, но и аддитивного учёта не только свидетельств, но и гипотез, осуществимо существенное расширение круга решаемых прикладных задач.
Литература:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Академия, 2003. – 576 с.

2. Змитрович А.И. Интеллектуальные информационные системы. – Минск: НТООО «ТетраСистемс», 1997. – 368 с.

3. Нейлор К. Как построить свою экспертную систему: Пер. с англ. – М.: Энергоиздат, 1991. – 288 с.



Похожие:

Долгов Александр Иванович iconН. К. Гаврюшин Августовским утром 1840 года в иенской квартире профессора...
Фриза появился гость из России – Александр Иванович Тургенев (1784-1845). Сын известного деятеля новиковского кружка, давний приятель...
Долгов Александр Иванович iconАлександр Иванович Введенский

Долгов Александр Иванович iconХазана нельзя поддерживать поскольку Хазан коррупцинер, лжец, вор,...
Хазана могли бы предоставить: Вячеслав Иванович В, Александр Николаевич М, Александр Майорович, Михаил Васильевич маж, Владимир Андреевич...
Долгов Александр Иванович iconПротокол №5 заседания Совета палаты Тюменской области
Присутствовали: Абамеликов Евгений Кириллович, Гордеева Ольга Геннадьевна, Степин Виктор Петрович, Яковлев Василий Иванович, Яковлева...
Долгов Александр Иванович iconВстреча митрополита Корнилия с губернатором Калужской области
Владимир Игоревич Попов, министр культуры Александр Иванович Типаков, глава администрации муниципального района «Боровский район»...
Долгов Александр Иванович iconАлександр Иванович Куприн родился 26 августа (7 сентября) 1870 года...
Александр Иванович Куприн родился 26 августа (7 сентября) 1870 года в захолустном городке Наровчате Пензенской губернии. Отца своего,...
Долгов Александр Иванович iconА. И. Соловьев соловьев александр Иванович, доктор политических наук,...
Соловьев александр Иванович, доктор политических наук, профессор кафедры политической социологии Института государственного управления...
Долгов Александр Иванович iconАлександр иванович куприн (1870—1938)
...
Долгов Александр Иванович iconАлександр Иванович Куприн талантливый писатель начала XX века
Куприн родился в селе Наровчатове Пензенской области в семье канцелярского служащего
Долгов Александр Иванович iconАлександр Иванович Куприн
Юнкера · Гранатовый браслет · Молох · Олеся · Поединок · Суламифь · Яма · Белый пудель · Детский сад · Изумруд · Сапсан · Слон ·...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница