Программа курса высшей алгебры и теории чисел январь 2011

Скачать 61,21 Kb.

Название	Программа курса высшей алгебры и теории чисел январь 2011
Дата публикации	17.06.2013
Размер	61,21 Kb.
Тип	Программа курса

pochit.ru > Математика > Программа курса

Программа курса

высшей алгебры и теории чисел

январь 2011

I. Комплексные числа

Теорема о существовании и единственности поля комплексных чисел
**Построение поля комплексных чисел и изоморфизм различных моделей
Свойства сопряжения, тригонометрическая форма комплексного числа, равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрическом виде, формула Муавра
Корни n-ой степени из комплексного числа
Корни n-ой степени из 1, свойства
Первообразные корни n-ой степени из 1
Исследование корней многочлена третьей степени с вещественными коэффициентами, используя дискриминант многочлена ( квадрат произведений разностей корней)
Решение уравнения третьей степени, формула Кардано
**Исследование уравнения третьей степени с вещественными коэффициентами
Уравнения четвёртой степени

^ II. Определители и матрицы

Определение определителя как полилинейной кососимметрической функции от строк ( столбцов) матрицы
Перестановки, основные свойства
**Теорема о существовании и единственности полилинейной, кососимметрической функции строк матрицы со следствием
Элементарные преобразования определителя, метод Гаусса приведения определителя матрицы к треугольному виду
Транспонированная матрица, теорема об её определителе
Теорема о ступенчатом определителе
Определитель Вандермонда
*Разложение определителя по строке ( столбцу) , включая лемму об определителе с единичной строкой и следствием
*Теорема о ступенчатом определителе ( доказательство с помощью разложения по строке)
Матрицы одного строения – алгебраическая структура

Умножение матриц, доказательство дистрибутивности
*Ассоциативное свойство произведения матриц
Теорема об алгебраической структуре множества квадратных матриц
Теорема об определителе произведения матриц
Обратимые матрицы, критерий обратимости

III. Системы линейных уравнений и линейные пространства

Определение системы, равносильные системы, матричная запись, элементарные преобразования системы
*Теорема Крамера
Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду методом Гаусса
Ранг ступенчатой матрицы, его независимость от приведения системы к ступенчатому виду
Теорема Кронекера-Капелли для системы со ступенчатой матрицей коэффициентов
Однородные системы линейных уравнений, алгебраическая структура решений
Линейная оболочка, свойства
Система образующих векторов пространства, линейно независимая система, свойства
Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций
Базис пространства, число векторов базиса, критерии базиса
Подпространство, свойства
Изоморфизм конечномерных пространств одной размерности
Действия над подпространствами, свойства
*Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств
Прямая сумма подпространств, критерий
*Внешняя прямая сумма подпространств
Определение ранга матрицы с помощью миноров, инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Совпадение ранга матрицы со строчным и столбцовым рангом
Теорема Кронекера-Капелли ( общий случай)
*Теорема о размерности пространства решений однородной системы уравнений

IV. Многочлены

Определение многочлена, алгебраическая структура множества многочленов над кольцом
Значения многочлена от матрицы, свойства, включая лемму о значении произведения матричных многочленов
Собственные числа, столбцы матрицы, характеристический многочлен матрицы, его корни
Теорема Кэли-Гамильтона
Многочлены над областью целостности, свойства
Теорема о делении с остатком и основная теорема теории делимости в кольце многочленов над полем

Понятие алгебраически замкнутого поля, свойства, разложение многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами
Теорема о числе различных корней многочлена
Кратные корни многочлена, число корней многочлена, включая их кратности
Формальное и функциональное равенство многочленов
*Производная многочлена, формула Тейлора, дифференцирование в кольцах
*Кольцо частных, поле частных
Дробно-рациональные функции, правильные дроби, свойства
Простейшие дроби и разложение дробно-рациональной функции на простейшие
*Разложение на простейшие в произвольном поле частных над факториальным кольцом
Интерполяционный многочлен, существование и единственность минимального многочлена, связь произвольного интерполяционного многочлена с минимальным интерполяционным многочленом
Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона
Корни многочлена с рациональными коэффициентами
Редукция многочлена по простому модулю, Лемма Гаусса
Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с рациональными коэффициентами
Границы корней многочлена с вещественными коэффициентами
*Определение ряда Штурма, теорема Штурма
Построение ряда Штурма

Программа коллоквиума по курсу теории чисел

Первый семестр, математики, 2010 год
1. Бинарная операция. Понятие алгебраической структуры. Изоморфизм алгебраических структур. Подструктуры. Примеры.

2. Определение группы и подгруппы. Критерий подгруппы. Простейшие свойства в группе. Примеры.

3. Кольцо, типы колец, подкольцо, критерий подкольца. Примеры.

4. Поле, типы полей, характеристика поля. Примеры.

5. Линейное пространство, подпространство. Примеры.

6. Основная теорема арифметики в Z

Формулировка. Доказательство существования разложения. Схема доказательства единственности.

7. Теорема о делении с остатком в Z/

8. Н.О.Д. в Z. Существование и единственность Н.О.Д.

9. Алгорифм Евклида в Z.

10. Взаимно-простые числа. Свойства.

11. Область целостности. Единицы ( обратимые элементы) кольца. Примеры.

12. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество..

13. Ассоциированные элементы в области целостности. Свойства.

14. Построение кольца классов вычетов.

15. Критерий существования делителей нуля в кольце классов вычетов. Поле классов вычетов.

16.** Идеалы коммутативного кольца. Понятие делимости на языке идеалов. Свойства делимости на языке идеалов.

17.**Кольцо главных идеалов. Основное свойство кольца главных идеалов.

18.* *Основная теорема теории делимости в кольце главных идеалов. Доказательство существования.

19.** Основная теорема теории делимости в кольце главных идеалов. Единственность.

20. *Определение евклидова кольца. Основная теорема теории делимости в евклидовом кольце Доказательство существования.

21.* Н.О.Д. элементов и алгоритм Евклида в евклидовом кольце.

22.* Взаимно-простые элементы в Евклидовом кольце. Свойства. Доказательство единственности в основной теореме теории делимости.

23. Сравнение в Z. Свойства.

24.* Сравнение по модулю идеала в коммутативном кольце. Свойства.

25.* Фактор-кольцо коммутативного кольца по идеалу. Свойства.

26. Системы вычетов в Z. ( полная и приведённая) Свойства.

27. Группа обратимых элементов ( единиц ) кольца классов вычетов по модулю m.

28. Теоремы Ферма и Эйлера.

29.* Вычисление функции Эйлера.

30.* Арифметические функции. ( число делителей, сумма делителей, функция Мёбиуса, функция Эйлера ) Формулы.

31. Решение сравнений первой степени в Z.

32. Китайская теорема об остатках.

33. Сравнения высших степеней. Лемма Хензеля.

34. Сравнения по простому модулю. Сведение сравнения второй степени к двучленному сравнению.

35. Теорема Вильсона.

36. Квадратичные вычеты и невычеты. Квадратичный критерий Эйлера.

37. Символ Лежандра. Свойства.

38. *Лемма Гаусса о символе Лежандра.

39. *Второе дополнение к квадратичному закону взаимности ( вычисление символа Лежандра для 2)

40.* Квадратичный закон взаимности. Доказательство для нечетных простых чисел.

Замечания

Извините, что так много получилось вопросов
Студенты, не сдавшие коллоквиум, считаются имеющие неудовлетворительно в третьем вопросе билета со всеми вытекающими последствиями, остальные имеют соответствующую оценку в третьем вопросе ( виртуально)
Надо знать основные определения из коллоквиума всем
Вопросы с одной звёздочкой - можно знать только определения для желающих ответить не более чем на 3, с двумя звёздочками – для желающих иметь не более 4. В вопросе 11 темы Многочлены, можно знать дифференцирование в кольцах только для желающих иметь 5
Уверен, что все, кто отнесётся к подготовке к экзамену ответственно, получат оценку, на которую рассчитывают. Желаю не унывать, даже, если что-то будет не так, мы все не Боги, но не забудьте, что жизнь будет продолжаться и после экзамена, и даже после нас всех

Желаю вам всем успеха на экзаменах, удачного во всех отношениях следующего 2011 года, не скучайте на праздниках, невзирая на предстоящую сессию, но и не расслабляйтесь ( к вашему вящему сожалению, может быть)
Ваш Сергей Востоков

	Методика преподавания математики в основной школе Курс лекций Рецензент: Цецорина Т. А., доцент кафедры алгебры, теории чисел и геометрии БелГУ		Методика преподавания математики в основной школе Курс лекций Рецензент: Цецорина Т. А., доцент кафедры алгебры, теории чисел и геометрии БелГУ
	Задачах алгебры, теории чисел, математического анализа, теории вероятностей... Определение Пусть, тогда целой частью этого числа называется наибольшее целое число не превосходящее. Целая часть числа обозначается...		Рабочая программа учебного курса «вероятность и статистика» Рабочая программа курса по теории вероятностей и статистике для 5 класса составлена на основе федерального компонента государственного...
	Вопросы к экзамену по курсу Способы представления чисел. Представление чисел с фиксированной точкой. Представление чисел с плавающей запятой. Диапазон и точность...		Вопросы к зачёту по курсу «Теоретические основы информатики» Группа У2-06 Весна 2012 г Способы представления чисел. Представление чисел с фиксированной точкой. Представление чисел с фиксированной запятой. Представление...
	«Согласовано» Руководитель мо /Фильшина Р. М. / Протокол №1 от Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем и дает распределение учебных часов по разделам курса алгебры. Рабочая...		Программа по изучению курса Курс призван развить и дополнить знания и умения школьников в использовании азов теории вероятностей в жизни. В рамках курса рассматриваются...
	Учебной дисциплине “ экономическая теория” (экспериментальная версия... Программа курса предназначена для студентов всех специальностей, обучающихся на дневных и вечерних отделениях институтов в Финансовой...		Вопросы к экзамену по курсу Способы представления чисел. Представление чисел с фиксированной точкой. Представление чисел с фиксированной запятой. Представление...

Программа курса высшей алгебры и теории чисел январь 2011

Похожие: