Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1




Скачать 62,96 Kb.
НазваниеМодуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1
Дата публикации16.06.2013
Размер62,96 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Математика > Документы
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний,

размещений и перестановки. (М1)


Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ3

Комбинаторика

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей.

При решении комбинаторных задач используются два правила: принцип умножения и принцип сложения.

Принцип умножения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества т способами и если после каждого такого выбора элемент В можно выбрать п способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример 1. Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из пункта В в пункт С - 4. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В?

Решение:



Принцип умножения легко обобщается на случай выбора трех и более элементов.

Принцип сложения. Если элемент А можно выбрать из некоторо­го множества т способами, а другой элемент В - п способами, причем выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одно­го из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (т+п) способами.

Пример 2. Пусть из города А в город В можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение:

1+2+3=6
При решении комбинаторных задач важно уметь выделять случаи, где можно использовать те или иные формулы.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из п элементов обозначают через Рn это число равно



Размещениями называются множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всевозможных размещений определяется формулой.



Сочетаниями из n различных элементов по т называются множества, содержащие т элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по т обозначают:. Это число выражается формулой



Значения   могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

            Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Закономерность его построения такова: складывая две рядом стоящие числа, получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка – значения числа сочетаний из 1 (), вторая – из 2 (- слева направо), и т.д.
Выше предполагалось, что все п элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди п элементов есть n1 элементов одного вида, п2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями определяется формулой



Число размещений по т элементов с повторениями из п элементов равно пm, т.е.



Число сочетаний с повторениями из и элементов по m элементов равно чис­лу сочетаний без повторений из п + т - 1 элементов по m элементов, т.е.



Задачи:

  1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если: а) цифры не повторяются; б) повторение допустимо; в) числа должны быть нечетные и без повторения.

  2. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

  3. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и потом спуститься с нее? Решите ту же задачу при дополнительном условии, что подъем и спуск происходят по разным дорогам.

  4. При составлении одного варианта письменной контрольной работы по математике преподаватель располагает 4 задачами по геометрии, 8 - по алгебре и 3 - по тригонометрии. Сколькими способами можно составить этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из перечисленных разделов?

  5. Из двух полуфинальных групп, каждая их которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?

  6. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых один синий, а другой - красный.

  7. Имеется 6 различных конвертов без марок, 4 различные марки и 3 различных конверта с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма

  8. Семья новоселов хочет приобрести письменный стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов, Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащих письменный стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф и письменный стол. Сколькими способами может быть сделана покупка?

  9. Найти значение выражения:



  1. Решить уравнения:



  1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

  2. Сколькими способами можно составить трехцветный поло­сатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

  3. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

  4. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 1,2, 4, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?

  5. Сколькими способами можно составить комиссию в составе из трех человек из имеющихся 9 человек: 4 женщин и 5 мужчин, если: а) не ва­жен пол членов комиссии; б) комиссия должна состоять из двух женщин и одного мужчины.

  6. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?

  7. Сколькими способами девочка Яна может разложит 12 кукол по трем ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?

  8. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

  9. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?


Дополнительные задания:

  1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

  2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

  3. Из 10 книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами это можно сделать?

  4. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.

  5. Пассажирский поезд состоит из 3 багажных вагонов и восьми купейных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в начале поезда?

  6. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции на которой присутствуют 15 человек?

  7. У одного студента есть 11 книг по математике, а у другого -15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена?

  8. Решить уравнения:





Прочитать, коротко записать материал.


Примеры записать в тетрадь

Выполнить задания, проверить.








Похожие:

Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconУрок по теме "Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения"
Комбинаторика, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconУчебно-тематический план дисциплина: Информатика и математика (Часть 2 Математика)
Модуль Тема Элементы теории множеств. Основные числовые множества. Множество комплексных чисел. Комбинаторика. Бином Ньютона
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconРубежные тесты Абдоминальный модуль 2 стр. Сосудистый модуль 23 стр....
Признаки инкреторной недостаточности поджелудочной железы при хроническом панкреатите
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconМодуль к теме: «Приближенные формулы в схеме Бернулли»
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь с формулой Пуассона, интегральной и локальной теоремой Муавра-Лапласа, научитесь...
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconВсе формулы по алгебре и геометрии Формулы сокр умножения и разложения на множители

Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconМодуль I. Информационная справка об Амгинской гимназии 2 стр
Модуль II. Анализ социокультурной ситуации и качества образовательной деятельности
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconДополнительные материалы и оборудование не используются по следующим...
Учащимся разрешается использовать справочные материалы: таблицу квадратов двузначных чисел, формулы корней квадратного уравнения,...
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconРуководство по эксплуатации Рязань 2006 г. Модуль охраны «Домен 1ПМ» ( gsm )
Модуль охраны «Домен 1ПМ», в дальнейшем модуль охраны мо, предназна-чен для защиты помещений от несанкционированного проникновения...
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconОсновные понятия, законы и формулы
Необходимо знать наизусть нижеперечисленные определения, словесные формулировки и формулы (математические выражения физических законов...
Модуль: Комбинаторика, формулы сочетаний, размещений и перестановки. М1 iconУрок по теме «Синус, косинус и тангенс угла треугольника»
Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки. Рассмотреть формулы приведения
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница