Урок алгебры в 8 классе Тема: «Различные приемы решения квадратных уравнений»

Урок алгебры в 8 классе Тема: «Различные приемы решения квадратных уравнений» Цели: Систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Квадратные уравнения» Подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе. Сформировать умения выбирать главные положения, на которых строится обоснование тех или иных выводов. Решить комплексные, нестандартные задачи. Оборудование и материалы к уроку. Приборы и инструменты для выполнения чертежей и рисунков, компьютер, видеопроектор Стенды, таблицы по теме «Квадратные уравнения» Памятки дл учащихся с алгоритмами различных способов решения квадратных уравнений. Знания и умения учащихся. Сформировать у учащихся умения проводить обоснование, выбирать главные положения, на которых строится обоснование тех или иных выводов. ^ I. Организационный момент. Вступительное слово учителя. Приветствие присутствующих, сообщение темы и цели урока, порядка выступлений. Тема 1. Общие методы решения квадратных уравнений. Метод разложения не множители Метод введения новой переменной (записано через видеопроектор на экран) Перед сообщением первой темы провести устный опрос по вопросам. Какое уравнение называется квадратным? Какой вид имеют квадратные уравнения, если в=0; с=0, в=0, с=0? Как называются такие уравнения? (Записано на доске) Что называется корнем уравнения? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения? От чего это зависит? (Записать на доске формулу Д) Какие формулы для нахождения корней вы знаете? (Записать на доске) Как решать неполные квадратные уравнения? Можно ли их решить с помощью этих формул? Провести пример. Запишите на доске краткую формулировку теоремы Виета и обратной ей теоремы. Тема 1. Общие методы решения квадратных уравнений. (Один из учащихся решает на доске, остальные в тетрадях). При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения общего множителя за скобки, формул сокращенного умножения, способа группировки) Пример 1. (Записано на доске) Решить уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0 Решение 3х2 + 2х – 1 = 0 Воспользуемся способом группировки, для чего представим 2х в виде разности 3х и х. 3х2 + 3х – х – 1 = 0, 3х(х + 1) – (х + 1) = 0, (х + 1) (3х - 1) = 0, х + 1 = 0 или 3х – 1=0, х = -1 Ответ: -1; Пример 2. При решении более сложных квадратных уравнений нередко приходится использовать метод введения новой переменной (5х + 3)2 = 3(5х + 3) – 2 Решение. Пусть 5х + 3 = t, получим t2 = 3t – 2? t2 – 3t + 2 = 0. Убеждаемся, что D>0, зн. по теореме, обратно теореме Виета, подбираем корни: t1 = 1, t2 = 2. При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать его проще, введя новую переменную. Решают самостоятельно по рядам по вариантам I вариант х2 + 16х + 15 = 0 II вариант (3х – 1)2 = 4 – 12х (Дома I→, II→I записать в тетради) х2 + 16х + 15 = 0 х2 + 15х + х + 15 = 0 х (х + 15) + (х + 15) = 0 (х + 15) (х + 1) = 0 х = -15, х = -1 (У доски 1 ученик) (3х – 1)2 = 4( 1– 3х) (1 – 3х)2 = 4 (1 – 3х) Пусть 1 – 3х = t, получим t = 4t; t2 – 4t = 0, t (t – 4) = 0, t = 0, t = 4 (У доски 1 ученик) Тема 2. Специальные методы решения квадратных уравнений (Рассказывает ученик). Остальные ученики записывают в тетрадь. Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями. 1) х2 + 4х – 5 = 0, а = 1, в = 4, с = -5 а + в + с = 0, х1 = 1, х2 = -5 2) х2 + 6х + 5 = 0, а = 1, в = 6, с = 5 а + с = в, х1 = -1, х2 = -5 3) 2х2 – 5х + 3 = 0, а = 2, в = -5, с = 3 а + в + с = 0, х1 = 1, х2 = 4) 3х2 + 2х – 1 = 0, а = 3, в = 2, с = -1 а + с = в, х1 =- 1, х2 = При решении уравнения ах2 + вх + с = 0 (а≠0) можно пользоваться следующими правилами Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = Если а + с = в, то х1 = -1, х2 = Докажем 1 утверждение Разделим обе части уравнения на а≠0 По теореме Виета , Так как а +в + с = 0, то в = -а – с, тогда , , зн. х1 = -1, х2 = Утверждение 2 доказать аналогично (Докажите дома) Замечание. При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1 (число -1) корнем. И если да, то пользуемся правилом 1 или 2. Задание (устно). Найдите корни уравнения: а) 3х2 – 8х + 5 = 0, в) 5х2 – 9х – 14 = 0, б) 2х2 + 3х + 1 = 0, г) –х2 + 4х – 3 = 0 (на экране) Ответы: а) 1; ; б) -1; ; в)- 1; ; г) 1; 3. Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения ах2 + вх + с = 0 на а≠0, получим а2х2 + вах + са = 0. Пусть ах – у, получим у2 + ву + са = 0. Корни у1 и у2 находим по теореме, обратной теореме Виета. Т.к. ах1 = у1, ах2 = у2, то , , Пример. Решите уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. Умножим обе части уравнения на а = 2, получим 22∙х2 - 11∙2х + 30 = 0 Пусть 2х = у, тогда у2 – 11у + 30 = 0. у1 = 5, у2 = 6. Тогда 2х1 = 5, 2х2 = 6, х1 = 2,5 х2 = 3 Ответ: 2,5; 3 Замечание. Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно. Задание классу. I вариант. 1907х2 – 103х – 2010 = 0 II вариант 3х2 – 5х + 2 =0 Ответы: Iв. а + с = в, зн. х1 = -1, IIв. а + в + с = 0, зн. х1 = 1, Тема 3. Графический способ решения квадратных уравнений (Рассказывает ученик) Графический способ решения уравнений состоит в построении на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть) В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной функции у = ах2 и линейной у = kx + в (парабола и прямая). Возможны следующие случаи (на экране) Парабола и прямая касаются (имеют одну общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения. Прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы которых являются корнями уравнения. Прямая и парабола не пересекаются, не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней. Пример (тоже на экране) х2 = -1,5х + 2,5 = 0. Решите графически. Решение. Перепишем уравнение в виде х2 = -1,5х + 2,5 Рассмотрим функции у = х2 и у = -1,5х + 2,5 Построив в одной системе координат их графики, найдем абсциссы их точек пересечения: х1 = -2,5, х2 = 1. Эти числа являются корнями исходного уравнения. Дома. Решите графически а) х2 = 0; б) 2х2 + 7 = 0; в) х2 – 2х = 0. Тема 4. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки (принести всем циркуль и линейку). (Рассказывает учитель). Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 (а≠0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром QA (), проходящей через точку А (0;1)оси 0х. Строим окружность и центром Q и радиусом QA. Возможны три случая. Два корня QA > у0 Один корень QA = у0 Нет корней QA < у0. Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений этим способом (на экране) Пример 1. х2 – 2х + 1 =0 Q( ;) Q (1; 1) Пример 2. (Решить в классе на доске) х2 + 4х – 5 =0 Q( ;) Q (-2; 2) Ответ: -5, 1 Дома: Решите уравнение этим способом х2 – 4х +5 = 0 Замечание. Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять построения. Но нам сейчас интересно отметить важный факт: квадратные уравнения можно решить с привлечением геометрии. 5. Как решали квадратные уравнения в древности (сообщение ученика) Впервые квадратные уравнения смогли решить древние египтяне. В одном из папирусов содержится задача: «Найти площадь поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а длины равно ширине» (на экране). Решение. Показано на доске Пусть х – длина поля х – ширина поля Получаем уравнение х2 = 16. Длина поля равна 4. Иной способ решения квадратных уравнений описан Ал-Хорезми Он основан на методе выделения полного квадрата х2 + 10х = 39 х2 + 10х + 25 = 39 +25 (х + 5)2 + 64, х + 5 = 8, х = 3 Ал-Хорезми работал только с положительными числами, поэтому указал только один корень, второе найдем х + 5 = -8, х = -13 Задание на дом. Решите с помощью квадратного уравнения древнеиндийскую задачу о стае обезьян ^ Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам Стали прыгать, повисая Столько ж было обезьянок, Ты скажи мне в этой стае? (каждому на листочке) Итог урока. Выставление оценок. И по каждой теме урока придумать и решить уравнение всеми теми способами, с которыми вы сегодня познакомились и их же с помощью формул корней квадратного уравнения, если не сможете придумать, найдите в учебнике. Оформить красиво на листочках и сдать на оценку.

Похожие:

	Конспект урока алгебры в 8 классе Тема: «Решение квадратных уравнений» Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать...		Урок алгебры в 8 классе на тему «Квадратные уравнения» Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения. Различные способы решения квадратных уравнений»
	Тема урока: Решение квадратных уравнений Цели урока: образовательная –формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле, отработать способы решения неполных квадратных...		Урок алгебры в 7 классе. Тема: Решение линейных уравнений Образовательная цель: углубить, расширить и обобщить сведения о линейных уравнениях и выражениях, умения по решению уравнений
	Урок алгебры по теме «Решение квадратных уравнений» Учитель – тьюторТюнева Надежда Васильевна, первая квалификационная категория мбоу «Светлинская средняя общеобразовательная школа...		Урок толерантности: «Город единство непохожих» Тема: «Квадратные уравнения» Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы. Представим, что мы – дети разных времен и народов...
	Урок по теме "Решение квадратных уравнений". 8-й класс Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Решение квадратных уравнений”. Вы уже достаточно знаете и...		Урок по алгебре в 8-м классе "Решение квадратных уравнений" Цель: повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать
	Решение квадратных уравнений с параметрами ...		Урок – практикум «Мы строим дом» по теме «Решение квадратных уравнений», 8 класс Этот урок преследует еще одну цель знакомство со строительными профессиями. Не все учащиеся по окончании девятилетнего образования...