Урок по теме «Квадратные уравнения с параметрами»

Урок по теме «Квадратные уравнения с параметрами» в 10 классе. Учитель МОУ Гимназия №10 г.Луховицы Швалова Л.В. Цель и учебная задача: формирование умений формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения и применять их при решении квадратных уравнений с параметрами. Развивающие задачи: развивать творческую сторону мышления; учить осуществлять исследовательскую деятельность. Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения. План урока. 1. Информационный ввод. 2. Актуализация ЗУН. 3. Исследовательская работа. 4. Решение задач с параметрами. 5. Итог занятия. I. Информационный ввод. - В этом учебном году мы научились решать уравнения высших степеней, обобщили материал о функциях и их свойствах. - Особое место в теме «Функция» занимает квадратичная функция и применение её свойств к решению квадратных уравнений с параметрами (Уравнения, где числовые коэффициенты заменены буквами). - Уравнения с параметрами включены в ЕГЭ, и их решение оценивается большим количеством баллов, чем другие. Сообщить и записать тему урока. ^ II. Актуализация ЗУН. - Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратном трёхчлене и о квадратных уравнениях. На экране запись f(x) = Ax2 + Bx + C (A 0) Какую информацию можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена? Добиться ответов: 1) А  0 , ветви вверх А  0 , ветви вниз 2) хв = -  3) f(x) = C 4) Д  0 , парабола не пересекает ОХ Д = 0 , парабола касается ОХ Д  0 , парабола пересекает ОХ в двух точках (По ходу ответов учащихся на экране появляется соответствующая запись) ^ III. Исследовательская работа ( в группах) - Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но количество таких теорем практически необозримо. Нам остаётся только одно – научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трёхчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках – алгебраическом и геометрическом. На доске заранее сформулированы задачи в общем виде: При каких значениях параметра а число М лежит между корнями квадратного уравнения А(а)х2 + В(а)х +С(а) = 0 ( х1  М  х2 ) При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)х2 + В(а)х +С(а) = 0 больше заданного числа М? ( х1, х2  М ) При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)х2 + В(а)х +С(а) = 0 меньше заданного числа М? ( х1, х2  М ) Работают 3-и группы ( по рядам). Задание каждой группе: составьте теорему для вашей задачи. Каждая группа готовит свою презентацию на кальке, составляет свою теорему. Представители каждой группы выходят к доске, через кодопроектор воспроизводят на экран результат исследовательской работы, записывают в таблицу систему неравенств и формулируют теорему. Вопрос каждому представителю групп: - Обоснуйте свой ответ. Объясните почему нельзя удалить ни одно из неравенств вашей системы. Перед началом работы предложить план презентации (высвечен на экране) f(x) = Ax2 + Bx + C Возможны два случая: А  0, А  0. Для каждого случая: а) подумайте, что можно сказать о Д; б) подумайте, что можно сказать о f(М); в) для (2) и (3) сравните М и абсциссу вершины параболы г) запишите систему неравенств. Итак, вы получили представление о том, как формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения и обосновывать эти теоремы. А теперь практика. ^ IV. Решение задач с параметрами. Пример (разбирает учитель) При каких значениях а корни уравнения 4х2 – (3а + 1)х – а – 2 = 0 заключены на интервале (-1; 2) ? Решение: Рассмотрим f(x) = 4х2 – (3а + 1)х – а – 2 Теорема: Д 0 f(-1)  0 f(2)  0 Д = 9а2 + 6а +1 + 16а + 32 = 9а2 + 22а + 32 f(-1) = 4 + 3а + 1 – а – 2 = 2а + 3 f(2) = 16 – 6а – 2 – а – 2 = -7а + 12 9а2 + 22а + 32  0 а 2а + 3  0 а - 7а + 12  0 а Ответ: при -1,5  а   ^ Пример (решает учащийся у доски) Найдите все значения а, для которых при каждом значении х из промежутка ) значение выражения х4 – 7х2 – 3 не равно значению выражения ах2. Решение: х4 – 7х2 – 3  ах2 х4 – (7 + а)х2 – 3  0 на ) t = х2 , t (1; t2 – (7 +а)t – 3  0 на (1; рассмотрим f(t) = t2 – (7 +а)t – 3 Д = (7 + а)2 + 12  0 при  f(0) = - 3 f(-1) 0 1 – 7 – a – 3  0 a  -9 f(9)  0 81 – 63 – 9a – 3  0 a  f(-1)  0 -a – 9  0 a  - 9 tв  1   а  - 5 Ответ: (-;   (  ; +) Предлагаю вам ряд задач с параметрами (карточки на каждого в 2-х вариантах) ^ Для самопроверки и самоконтроля. I вариант. Решите следующие задания с параметрами. 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х2 + (а+1)х + 3 =0 лежат по разные стороны от числа 2? 2. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х2 + 4ах + (1 – 2а + 4а2) = 0 меньше -1. 3. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (2 – а)х2 – 3ах + + 2а = 0 больше  ? 4. (С-3 ЕГЭ) Найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка (- 5;  значение выражения х2 - 4|х| - 4 не равно значению выражения а|х|. II вариант. 1. Найдите все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения х2 + ах – 3 = 0. 2. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х2 – 6ах + (2 – 2а + 9а2) = 0 больше 3? 3. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (1 + а)х2 – 3ах + + 4а = 0 меньше 1? 4. (С-3 ЕГЭ) Найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка значение выражения х - 2 - 3 не равно значению выражения а. Через 3 мин для контроля выводится на экран решение 1-ого задания (см. приложение 1) Ещё через 5 мин для самопроверки предъявляется решение 2-ого задания (см. приложение 1) 3-ье и 4-ое задание с карточки – на дом. ^ V. Итог урока. Это не последняя встреча с квадратными уравнениями с параметрами. Научившись решать квадратные уравнения с параметрами (а затем и квадратные неравенства), вы сможете решать и трансцендентные (тригонометрические, логарифмические, показательные) уравнения, т.к. каждое из них путём введения новой переменной приводится к квадратному. На экране: 5 -  = b, b - ? нет корней 5(2 - 1) -  – b = 0 10 -  - 5 – b = 0 t =  , | t |  1 10t2 – t – 5 – b = 0, b - ? нет корней на  Далее по рассмотренному алгоритму. Приложение 1. I вариант. №1. f(x) = x2 + (a + 1)x + 3 f(2)  0 f(2) = 4 + 2a + 2 + 3 = 2a + 9 2a + 9  0 а  -4,5 Ответ : (-; - 4,5) №2 f(x) = х2 + 4ах + (1 – 2а + 4а2)   = 4а2 – 1 + 2а – 4а2 = 2а – 1 f(-1) = 1 – 4а + 1 – 2а + 4а2 = 4а2 – 6а + 2 хв = - 2а  Ответ: (1; +) №3 f(x) = (2 – а)х2 – 3ах + 2а ) Д = 9а2 – 8а(2 – а) = 17а2 – 16а f()=  - а - а + 2а =  +  хв =  Ответ: Ø II вариант. №1. f(x) = х2 + ах – 3 f(3)  f(3) = 9 + 3а – 3 = 3а + 6 3а + 6 а-2 Ответ: (- ; - 2) №2. f(x) = х2 – 6ах + (2 – 2а + 9а2)   = 9а2 – 2 + 2а – 9а2 = 2а – 2 f(3) = 9 – 18а + 2 – 2а + 9а2 = 9а2 – 20а + 11 хв = 3а Ответ: (;+) №3. f(x) = (1 + а)х2 – 3ах + 4а  Д = 9а2 – 16а(1+а) = - 7а2 – 16а f(1) =1 + а – 3а + 4а = 2а + 1 хв =  Ответ: (- ;0)

Похожие:

	Урок алгебры в 8 классе на тему «Квадратные уравнения» Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения. Различные способы решения квадратных уравнений»		Урок по теме: «Неполные квадратные уравнения» Вопрос: “Какие из предложенных уравнений вы сможете решить на данный момент?” (учащиеся выбирают уравнения)
	Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...		План урока тема урока: Квадратные уравнения (обобщающий урок) Цель урока: Обобщить знания учащихся по данной теме, сформировать алгоритм учебного действия с изученными понятиями, обратить внимание...
	Тема: Линейные уравнения с параметрами Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет...		Методические рекомендации при изучении темы «Квадратные уравнения»... Теоретические основы личностно ориентированного обучения. 6 §2Квадратные уравнения в науке и школьных учебниках математики. 9
	Урок математики с информатикой по теме «Иррациональные уравнения и неравенства» Физико-математический класс, обобщающий урок, учебник А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10-11		Квадратичная функция и квадратные уравнения Цели мероприятия: образовательные: проверить вычислительных навыков учащихся, их умения применять свои знания при решении задач
	Урок толерантности: «Город единство непохожих» Тема: «Квадратные уравнения» Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы. Представим, что мы – дети разных времен и народов...		Урок по теме: Уравнения. Ход урока Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее. Что связывает оставшиеся слова между собой?