1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd)




Скачать 273,96 Kb.
Название1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd)
страница1/3
Дата публикации14.10.2013
Размер273,96 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Информатика > Документы
  1   2   3


Давыдов В.А., Давыдов А.В.

Очистка сигналов от шумов методом эмпирической модовой

декомпозиции в диалоговом режиме
Введение

Под преобразованием Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang transform – HHT) обычно понимается эмпирическая модовая декомпозиция (EMD) нелинейных и нестационарных сигналов (процессов) и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT не требует априорного функционального базиса, функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания EMD. Метод был предложен Норденом Хуангом в 1995 с обобщением на анализ произвольных временных рядов коллективом соавторов в 1998 г. /1,2,3/.

Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных (вейвлетный анализ, распределение Wagner-Ville и др.)­. Между тем, большинство естественных процессов и реальных физических систем в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными. Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Именно такой подход и реализуется в методе HHT. Однако полная адаптивность формирования базиса для ряда задач анализа данных создает определенные трудности. Так, например, в целом нестационарные сигналы могут содержать в своем составе локальные стационарные сигналы, которые было бы желательно отделять от других составляющих при сохранении их взаимной ортогональности.

^ 1. Эмпирическая модовая декомпозиция (EMD)

Классический метод EMD основан на предположении, что любые данные состоят из различных режимов ­колебаний (колебательных процессов). Каждый режим, линейный или нелинейный, стационарный или нестационарный, представляет простое колебание, которое в определенной степени «симметрично» относительно локального среднего значения, а, следовательно, имеет экстремумы и нулевые пересечения.

Каждый из этих колебательных режимов может быть представлен функцией внутренней моды (intrinsic mode function - IMF) со ­следующим определением:

  1. Число экстремумов и число нулевых пересечений функции должны быть равными или отличаться самое большее на 1.

  2. В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым.

IMF представляет собой колебательный режим, но вместо постоянной амплитуды и частоты может иметь переменную амплитуду и частоту, как функции времени. Любую функцию и любой произвольный сигнал можно разделить на семейство функций внутренних мод, придерживаясь изложенной ниже методики.

Для наглядности методику реализации EMD рассмотрим на примере разложения цифрового массива сигнала y(k), представленного на рис. 1.1 (непрерывная кривая, синий цвет). Сигнал смоделирован суммой трех нестационарных по амплитуде гармоник различной частоты и продлен на концевых участках (tp=4) для устранения ошибок преобразования на концевых интервалах обрабатываемого массива данных.




Рис. 1.1.
Алгоритм эмпирической модовой декомпозиции сигнала складывается из следующих операций его преобразования.

Операция 1. Идентифицируем по координатам и амплитудам все локальные экстремумы (максимумы и минимумы) сигнала. Группируем раздельно массивы векторов координат (номеров отсчетов) хmax(k) и соответствующих амплитудных значений уmax(k) максимумов, и аналогичные массивы векторов xmin(k) и ymin(k) минимумов всех выделенных экстремумов.




Рис. 1.2.
Операция 2. Кубическим (или каким либо другим) сплайном вычисляем верхнюю и нижнюю огибающие сигнала по выделенным максимумам и минимумам, как это показано на рис. 1.2 (красный и синий цвет соответственно). Определяем функцию средних значений m1(k) между огибающими (черный цвет) и находим первое приближение к первой функции моды IMF:

h1(k) = y(k) – m1(k). (1.1)

Операция 3. Повторяем операции 1 и 2, принимая вместо y(k) функцию h1(k), и находим второе приближение к первой функции моды IMF – функцию h2(k).

h2(k) = h1(k) – m2(k). (1.2)




Рис. 1.3.
Аналогично находим третье и последующие приближения к первой функции моды IMF. По мере увеличения количества итераций функция mi(k), равно как и функция hi(k), стремится к неизменяемой форме. Критерием останова итераций является задание предела по нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными операциями приближения, определяемой как

 k |hi-1(k) - hi-1(k)|2 / k hi-1(k)2. (1.3)

Пример изменения значений  в процессе итераций приведен на рис. 1.3. При пороге  = 0.001 количество итераций, как правило, не превышает 6-8. Останов итераций может производиться и заданием максимального количества итераций (обычно в режиме "ИЛИ" с остановом по порогу .




Рис. 1.4.
Последнее значение hi(k) итераций принимается за высокочастотную функцию моды с1(k) = hi(k) семейства IMF, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала y(k). Это позволяет вычесть с1(k) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие (рис. 1.4):

r1(k) = y(k) – c1(k). (1.4)

Функция r1(k) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике с нахождением второй модовой функции IMF – c2(k), после чего процесс продолжается:

r2(k) = r1(k) – c2(k), и т.д. (1.5)

Таким образом, достигается декомпозиция сигнала в n – модовом эмпирическом приближении в сумме с остатком rn(k):

x(k) = cj(k) + rn(k) (1.6)

Остановка декомпозиции сигнала должна происходить при максимальном «выпрямлении» остатка, т.е. превращения его в тренд сигнала по интервалу задания. Практически процесс может прекращаться по следующим критериям:

  1. Остаток rn(k) становится монотонной функцией без экстремумов.

  2. Компонент cj(k) или остаток rn(k) во всем интервале задания сигнала становятся несущественными по своим значениям или мощности по сравнению с сигналом.

  3. Заданием относительной среднеквадратической погрешности реконструкции по (1.6) без учета остатка rn(k) .

  4. По мере увеличения количества функций IMF относительная среднеквадратическая погрешность реконструкции (без учета остатка) достаточно сложных и протяженных сигналов уменьшается, но, как правило, имеет определенный минимум. Это определяется попытками алгоритма разложить остаток на функции, частично компенсирующие друг друга. Соответственно, останов программы может выполняться, если следующая выделенная функция IMF увеличивает погрешность реконструкции.

  5. Если тренд сигнала известен или определен каким-либо другим методом, то останов может быть задан по определенному минимуму метрики тренда и остатка rn(k).

Компоненты EMD практических сигналов обычно физически значимы и отображают различные физические процессы, сформировавшие сигнал.

На рис. 1.5 приведен пример полной декомпозиции сигнала с остановом по критерию 1. На верхнем графике рисунка приведен входной сигнал преобразования (красным) и сигнал обратной реконструкции суммированием функций разложения ci (c1-c5).




Рис. 1.5.
Таким образом, входной сигнал y(k) в соответствии с выражением (1.6) раскладывается по адаптивному базису, полученному непосредственно из анализируемых данных эмпирическим методом. Он не определен аналитически, но удовлетворяет всем традиционным требованиям базиса. На основании проверки на модельных и опытных данных он является:

1) законченным и сходящимся (сумма всех функций IMF и остатка равна исходному сигналу и не зависит от критериев останова итераций при их выделении);

2) ортогональным (все IMF и остаток ортогональны друг другу);

Н. Хуанг утверждает также, что базис разложения является единственным. Но это утверждение можно считать спорным. Эмпирический процесс разложения сигнала в силу своей адаптивности неуправляем, по крайней мере, в настоящей форме. Даже монотональная локальная составляющая сигнала при определенном влиянии дестабилизирующих факторов (шумов, импульсных помех и т.п.) может при декомпозиции разделиться на две или три рядом расположенные функции IMF. Конечно, при суммировании этих функций такая локальная составляющая будет выделена полностью, но это потребует от пользователя определенных априорных знаний о составе сигналов и его локальных особенностей. Но отсюда следует, что априорные данные о составе сигнала, а равно и другие дополнительные данные о сигнале, полученные любыми известными методами до начала или в процессе выполнения EMD, могут быть использованы для управления процессом формирования базиса разложения с целью направленного выделения таких локальных составляющих.

^ 2. Частотное отображение эмпирической декомпозиции шумовых сигналов

Шумы, сопровождающие полезную информацию в сигнале, в принципе, не относятся к типу колебательных в прямом смысле этого понятия. Но в то же время они полностью удовлетворяют приведенным выше определениям функций IMF. При распределении во всем частотном диапазоне входного сигнала и выполнении EMD, они распределяются по всем функциям IMF, что позволяет сформировать представление о частотном отображении процесса EMD в пространстве задания сигнала.

Рассмотрим характер EMD простейшего шумового сигнала – «белого шума». Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), автокорреляционная функция которого описывается дельта - функцией Дирака, а спектральная плотность мощности шумов не зависит от частоты и имеет постоянное значение Wq(f) = 2, равное дисперсии значений q(t). Это идеализированный случайный процесс, но многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях техники рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов много меньше эффективной ширины спектра шумов и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала.




Рис. 2.1. Гистограмма шумов
Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следовательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения. На рис. 2.1. Приведена гистограмма единичной реализации модельного «белого шума» y(k) в системе Mathcad (5000 отсчетов) с равномерным распределением отсчетов от -0.55 до +0.55 и дисперсией 0.1. Спектральную плотность мощности Wy модельной реализации шума можно посмотреть на рис. 2.5.



Рис. 2.2.




Рис. 2.3.
На рис. 2.2 приведен результат EMD модели y(k) шума на первых 750 отсчетах. Шумовой сигнал данной реализации был разложен на 12 функций IMF, первые девять из которых приведены на рисунке (4 последних функции в увеличенном масштабе). Останов процесса декомпозиции выполнен по минимуму погрешности реконструкции без учета остатка, процесс снижения погрешности при увеличении количества функций IMF приведен на рис. 2.3. Количество функций IMF в различных реализациях случайного сигнала изменяется от 8 до 14. Останов итераций при вычислении каждой функции IMF был установлен по относительному расхождению между последовательными итерациями с порогом 0.01%, при этом количество итераций для первых функций IMF превышает 10 и, как правило, постепенно снижается. Погрешность реконструкции с учетом остатка равна нулю. Вычислением скалярного произведения любых двух функций IMF можно убедиться в их взаимной ортогональности.

На рис. 2.4-А приведены гистограммы первых четырех IMF в сопоставлении с гистограммой входного сигнала y(k). Как следует из этих графиков, EMD изменяет плотности распределения выходных функций. Распределение первой IMF становится двумодальным с прогибом вниз на малых (близких к нулевым) амплитудах. Это объясняется тем, что для рядом расположенных однополярных импульсов при EMD выделяются экстремумы импульсов большей амплитуды, которые и отсеиваются в первую функцию IMF. При вычитании этой функции из входного сигнала распределение оставшейся части шумов становится близким к гауссовому с нулевым средним значением и резким сокращением рядом расположенных однополярных импульсов. На отборе всех последующих IMF этот фактор уже не сказывается, и они имеют распределение, близкое к гауссовому, а рядом расположенные однополярные импульсы воспринимаются, как более низкочастотные составляющие шума. Статистика последовательной реконструкции шумового сигнала частично показана на рис. 2.4-В.



Рис. 2.4.

Проверка процесса EMD на шумовых сигналах с другими законами распределения (Гаусса, Пуассона и пр.) показала, что качественный характер процесса остается неизменным.

На рис. 2.5 приведены спектры плотности мощности сигнала y(k) и первых функций IMF в главном частотном диапазоне сигнала 0- (отсчеты по спектру с шагом  = 2/5001).



Рис. 2.5.

По рис. 2.5 видно, что процесс EMD обладает определенной частотной избирательностью на каждом уровне EMD. Но говорить о каких-либо частотных передаточных функциях EMD будет некорректным, так как любая частотная составляющая i исходного сигнала в процессе EMD может быть расщеплена по амплитуде и фазе на составляющие разных уровней IMF. Это можно видеть на рис. 2.6, где приведены графики модулей «эквивалентных» частотных передаточных характеристик разложения для первых пяти функций IMF, полученные осреднением (в скользящем окне) отношения спектров функций к спектру исходного сигнала.



Рис. 2.6.

На рис. 2.7 приведены графики последовательного суммирования коэффициентов «эквивалентных» передаточных функций, которые показывают процесс последовательного перекрытия всего частотного диапазона входного сигнала.



Рис. 2.7.

Обратным преобразованием Фурье по спектрам мощности могут быть вычислены нормированные автокорреляционные функции семейства IMF, первые 5 из которых приведены на рис. 2.8. Как следует из графиков, статистическая независимость отсчетов в какой-то мере сохраняется только для первой IMF. Но даже в ней появляется отрицательная (знакопеременная) корреляция между последовательными отсчетами. Во всех остальных функциях четко прослеживается появление затухающей косинусоидальной зависимости между отсчетами с последовательным увеличением интервала корреляции по мере увеличения номера IMF.



Рис. 2.8.
  1   2   3

Похожие:

1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconАнатолий Васильевич Давыдов
Под преобразованием Гильберта-Хуанга понимается эмпирическая модовая декомпозиция (emd) сигналов и Гильбертов спектральный анализ...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconАнатолий Васильевич Давыдов
На примерах обработки геофизических данных показано, что модовая декомпозиция сигналов обеспечивает устойчивую адаптивную очистку...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconWorld Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck Link, Singapore 596224
Результаты emd-hsa не имеют ложных гармоник (результатов наложения свойств линейности на нелинейные системы) и не ограничиваются...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconАнглийская эмпирическая школа философии
В свое время выдающийся русский философ Соловьев: Западная философия с 17 века – сциентиская философия, философия, уделяющая науки...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconЭмпирический метод декомпозиции (emd) сигналов
Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconHht понимается совокупность э
Гильбертов спектральный анализ (hsa) /1, 2, 3/. Hht в целом представляет собой частотно-временной анализ данных (сигналов) и не требует...
1. Эмпирическая модовая декомпозиция (emd) iconЭмпирическая реальность России и её духовная сущность
Чаадаева, дружбу с которым чрезвычайно ценил. Поэтому писал их исключительно для себя. Однако в данном случае писать «для себя» означало...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница