Позиционные системы счисления




Скачать 251,76 Kb.
НазваниеПозиционные системы счисления
страница1/6
Дата публикации17.09.2013
Размер251,76 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Информатика > Документы
  1   2   3   4   5   6
Билет №16
1.Арифметические основы ВМ. Общие сведения о системах счисления.
2.Способы представления и передачи двоичных чисел в ВМ.
3.Преобразователь двоичного кода ВМ. Преобразователь прямого двоичного кода в обратный. Функциональная схема.

1)

Таблица 1.1
С и с т е м а с ч и с л е н и я
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 0 1 2 2
3 1 1 3 3
4 1 0 0 4 4
5 1 0 1 5 5
6 1 1 0 6 6
7 1 1 1 7 7
8 1 0 0 0 1 0 8
9 1 0 0 1 1 1 9
10 1 0 1 0 1 2 A
11 1 0 1 1 1 3 B
12 1 1 0 0 1 4 C
13 1 1 0 1 1 5 D
14 1 1 1 0 1 6 E
15 1 1 1 1 1 7 F
16 1 0 0 0 0 2 0 1 0

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
^

Позиционные системы счисления


В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы счисления) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое число, большее единицы.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.
К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием n = 10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман.

Определение


b-ричная система счисления определяется натуральным числом b > 1, называемым основанием системы счисления. x в b-ричной системе счисления его представляют в виде линейной комбинации степеней числа b:

Примеры


Например, число "сто три" представляется в десятичной системе счисления в виде:

Используя позиционный принцип, мы имеем возможность изобразить любое действительное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях.

Также распространены системы счисления с основаниями:

Запись


Для записи чисел системы счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и затем буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;

11110112 — то же число, но в двоичной системе.

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

  • в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);

  • в Паскале знаком «$» в начале числа;

  • в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

Свойства


Позиционная система счисления обладает рядом важных свойств:

  1. Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2.

  2. Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется [logb(x)] + 1 цифр, где — целая часть числа.

  3. Сравнение чисел. Сравним числа 321 и 312. Для этого слева направо сравниваем цифры, стоящие на одних и тех же позициях: 3 = 3 — результат сравнения чисел не определён; 2 > 1 — первое число больше независимо от оставшихся цифр.

  4. Сложение чисел. Сложим 321 и 312. Для этого справа налево складываем отдельные цифры:

1 + 2 = 3

2 + 1 = 3

3 + 3 = 6, итого 633.

Таким же образом можно сложить числа произвольной длины.
^

Переход к другому основанию

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную


Если число в b-ричной системе счисления равно

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

или, в более наглядном виде:

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

Например:

1011002 =

= 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 1 =

= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =

= 32 + 8 + 4 + 0 = 4410

Пример на C для перевода 18 в 7-ричную систему выглядит так: (корректно работает до основания 10, дальше появятся «цифры» :;<=>?@012 и т.д.)

void perevod( unsigned int num, unsigned int base )

{

#define LENGTH ( 8 * sizeof( unsigned int ) ) /* размер с запасом */
char str[ LENGTH + 1]; /* +1 для символа [[EOS]] */

char *pstr = str + LENGTH - 1; /* начинаем заполнять цифрами с конца */
str[ LENGTH ] = '\0'; /* добавляем EOS */
if( num == 0 ) *pstr = '0'; /* если цикл не будет крутиться */

else

do

{

*pstr-- = '0' + num % base; /* заполняем цифрами, сдвигаясь влево */

num /= base;

}

while( num > 0 );
printf( "%s\n", pstr + 1 ); /* печатаем, начиная с 1го ненулевого символа */
#undef LENGTH /* уже не нужно */

}
void main()

{

perevod( 18, 7 );

}

^

Перевод из десятичной в произвольную позиционную систему счисления


Для перевода необходимо делить число с остатком на основание счисления до тех пор, пока частное больше основания счисления.

Пример:

4410 переведём в двоичную систему

44 делим на 2. частное 22, остаток 0

22 делим на 2. частное 11, остаток 0

11 делим на 2. частное 5, остаток 1

5 делим на 2. частное 2, остаток 1

2 делим на 2. частное 1, остаток 0

1 делим на 2. частное 0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки справа налево получим число 1011002
^

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы


Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем число на триплеты, преобразуем триплеты по таблице

000 0 100 4

001 1 101 5

010 2 110 6

011 3 111 7

Для шестнадцатеричной — разбиваем на квартеты, преобразуем по таблице

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C

0001 1 0101 5 1001 9 1101 D

0010 2 0110 6 1010 A 1110 E

0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Пример:

преобразуем 1011002

восьмеричная — 101 100 → 548

шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16
^

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную


Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100

1 001 5 101

2 010 6 110

3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100

1 0001 5 0101 9 1001 D 1101

2 0010 6 0110 A 1010 E 1110

3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем

548 → 101 100

2C16 → 0010 1100
^

Дробное счисление в других системах счисления


Работа с дробными числами в системах счисления не нашла особой популярности, такие расчеты не поддерживет ни один калькулятор, да и компьютер производит операции с дробными числами по-своему. Основная причина такой непопулярности — невозможность в большинстве своём точного перевода десятичной дробной части в дробную часть в другой системе счисления; обратный же перевод можно осуществить всегда. Тем не менее, такие расчёты существуют.

До этого в рассмотренных примерах показателем стенени основания системы счисления являлось натуральное число, но ничто не мешает перевести показатель степени в диапазон целых чисел, т.е. расширить его в отрицательную полуплоскость. При этом формула, данная в определении будет также верна.

Рассмотрим пример: число 103,625 можно представить как

Таким образом, из примера видно, что не только целое, но и дробное число можно представить как комбинацию из цифр системы счисления.
^

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную


Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,0112 в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

Итак, число 1100,0112 = 12,37510.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа почти всегда переводят по-отдельности, а результат потом суммируют.
^

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную


Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,0112 будет выглядеть как 14,38 или C,616.
^

Перевод из десятичной системы в произвольную


Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,62510 в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 10310 = 11001112.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.

0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.

0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 1012

103,62510 = 1100111,1012

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.
^

Симметричные позиционные системы счисления


Такие системы счисления отличаются от обычных тем, что используют цифры не из множества , а из множества . Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы b было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа. Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами (-1,0,1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Позиционные системы счисления iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления....
Основные блоки стандартной конфигурации Персонального Компьютера (ПК) и логическое устройство компьютера. Принцип фон-Нейман
Позиционные системы счисления iconЭлективный курс "Системы счисления и элементы математической логики"...
Цель курса: привить интерес к информатике, изучить позиционные системы счисления,научиться производиться вычисления в компьютере....
Позиционные системы счисления icon10 класс Тема Компьютер и программное обеспечение
Историю чисел и системы счисления. Количество информации и свойства информации. Позиционные и непозиционных системы счисления
Позиционные системы счисления iconВопросы к экзамену по курсу «Информатика» для студентов специальности
Двоичная система счисления. Системы счисления с другим основанием. Примеры выполнения операций в двоичной системе счисления
Позиционные системы счисления icon"Системы счисления", на перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной...
Понятие информации. Виды информации. Роль информации в живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации: естественные...
Позиционные системы счисления icon№1: Системы счисления. Перевод чисел из системы в систему. Арифметические...
В данной брошюре собраны материалы для изучения тем по системам счисления и представлению числовой информации в ЭВМ. Материал подобран...
Позиционные системы счисления iconТематическое планирование информатике и икт на 2008-2009 учебный год для 10 -Х класс
Представление числовой информации с помощью систем счисления. Переводы чисел в позиционных счисления системах. Арифметические операции...
Позиционные системы счисления iconВ тетради) (слайд). Три числа двоичной системы счисления перевести...
Сегодняшний урок посвящается творчеству великого писателя, драматурга. О ком пойдет сегодня речь, вы узнаете, решив следующее задание...
Позиционные системы счисления iconТема Системы счисления, Четность 8 часов

Позиционные системы счисления iconДвоичная система счисления
Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница