Пермский государственный технический университет




Скачать 293.27 Kb.
НазваниеПермский государственный технический университет
Дата публикации31.08.2013
Размер293.27 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Информатика > Документы
  1. Федеральное агентство по образованию

  2. Государственное образовательное учреждение

  3. высшего профессионального образования

  4. ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

  5. Фамилия студента — справа от номера варианта



  1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы




  1. Индивидуальные задания




  1. Пособие разработано доц. Плаксиной В. П., доц. Макагоновой М. А., ст. преп. Пепеляевой Н.В., ст. преп. Тонкоевой И. В.,


ст. преп. Скумбиной Т. Н..

Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
  1. ^

    © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ


Пермь 2007
Указания к выполнению заданий:

Выполните задания 1-4 с помощью двойного интеграла, задания 5-7 с помощью тройного интеграла, задания 8-11 с помощью криволинейных интегралов, задания 12-13 с помощью поверхностных интегралов.

В каждом задании выполните схематический чертеж.

Вариант 1 (Абрамова)


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, определяемой условиями .

  3. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, ограниченной кривой .

  4. Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

  6. Вычислить интеграл , если область V определяется неравенствами .

  7. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего плотность .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L – дуга окружности .

  9. Найти центр тяжести одной арки циклоиды , считая плотность равной единице.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – арка циклоиды .

  11. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл по окружности L с центром в начале координат радиуса R, при положительном направлении обхода.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл , где L – окружность, по которой плоскость пересекает сферу, заданную уравнением .


Вариант 2 (Алишкевич)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, определяемой уравнениями .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями: .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L .

  9. Определить центр тяжести дуги астроиды , лежащей в первой четверти . Плотность считать равной единице.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , если L – контур эллипса , взятый при положительном направлении обхода.

  11. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл по замкнутой кривой L , пробегаемой так, что внутренность ограниченной эллипсом области остается слева.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S - внешняя сторона сферы .


Вариант 3 (Бурмак)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями с распределенной на ней плотностью .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного плоскостями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти момент инерции куба относительно его ребра.

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Вычислить статический момент относительно координатных осей прямолинейного отрезка АВ, соединяющего точки А(0,0) и B(1,1). Плотность в каждой точке отрезка равна произведению координат этой точки

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , L-контур квадрата АВСD с вершинами А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении обхода.

  11. Найти функцию по ее полному дифференциалу .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл II рода , где S - нижняя сторона части конической поверхности , при .


Вариант 4 (Горская)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой условиями .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: цилиндром и плоскостями и .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Найти массу кривой от точки до , если в каждой точке кривой плотность равна квадрату ее абсциссы

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L - дуга параболы при при положительном направлении обхода.

  11. Найти работу силы , совершаемую при перемещении материальной точки вдоль ломаной АВС, где А(1,-2), В(1, 3), С(5,3).

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл II рода , где S - внешняя сторона сферы при .


Вариант 5 (Кравцова)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями с распределенной на ней плотностью .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями и цилиндрической поверхностью .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Найти массу участка кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , L - отрезок прямой АВ, А(0,1,2), В(3,2,-1).

  11. Найти площадь, ограниченную астроидой .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где L – граница сечения куба плоскостью , которая обходится против часовой стрелки, если смотреть из точки (2 ,0,0).


Вариант 6 (Кушбак кызы)


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить интеграл , если область V определена условиями .

  7. Найти объем тела, ограниченного параболоидом и шаром .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Найти массу кривой на участке от до считая, что в каждой точке плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , L-контур квадрата АВСD с вершинами А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении обхода.

  11. Найти работу, совершаемую силой при перемещении материальной точки вдоль верхней полуокружности в положительном направлении.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить поверхностный интеграл II рода по внешней стороне S сферы .


Вариант 7 (Кузнецов)


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

  6. Вычислить интеграл , если область V определена условием .

  7. Вычислить координаты центра масс и моменты инерции пирамиды, ограниченной плоскостями .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по дуге астроиды L: .

  9. Вычислить массу эллипса L, определенного параметрическими уравнениями .

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – арка циклоиды при положительном направлении обхода.

  11. Найти работу силы , совершаемую при перемещении материальной точки вдоль окружности , ориентированной против часовой стрелки со стороны оси Oz.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл II рода , где S - нижняя сторона части конуса , заключенного между плоскостями и .


Вариант 8 (Даржаа)


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной плоскостями .

  6. Вычислить интеграл .

  7. Вычислить момент инерции круглого конуса, относительно его оси.

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Найти массу первого витка винтовой линии плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – часть кривой Вивиани при положительном направлении обхода.

  11. Найти функцию по ее полному дифференциалу .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл II рода , где S - верхняя сторона параболоида , заключенного между плоскостями и .


Вариант 9 (Шпагина)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по квадрату D: .

  3. Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями с распределенной на ней плотностью .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной плоскостями .

  6. Вычислить интеграл .

  7. Найти весь объем, заключенный между конусом и гиперболоидом .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по дуге циклоиды L: .

  9. Найти массу дуги линии от точки, соответствующей до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1,0,1) равна единице.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – контур, образованный линиями пересечения сферы с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода.

  11. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой L с началом в точке А(1,1) и концом в точке В(2,2).

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл II рода по верхней стороне верхней половины сферы .


Вариант 10 (Шмакова)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной плоскостями .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего массу .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии , считая плотность постоянной

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга окружности радиуса 2 с центром в начале координат при положительном направлении обхода.

  11. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – верхняя сторона плоскости ограниченной координатными плоскостями.

Вариант 11 (Шарафутдинов)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

  6. Вычислить интеграл .

  7. Найти объем тела, ограниченного параболоидами и и плоскостями .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Вычислить статический момент первого витка винтовой линии , относительно плоскости Оxy, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости .

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга винтовой линии от точки А (1,0,0) до точки В (1,0,2 ).

  11. Найти работу, совершаемую при перемещении материальной точки вдоль дуги L от точки А(0,0) до точки В(1,1) силой в случае, если L – отрезок прямой и в случае, если L – дуга параболы .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона поверхности, ограниченной плоскостями .

Вариант 12 (Перов)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, представляющей собой треугольник с вершинами О(0,0), А(10,1), В(1.1).

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями .

  7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность определяется по формуле .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

  9. Вычислить моменты инерции первого витка винтовой линии относительно координатной оси Оy.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга эллипса при положительном направлении обхода.

  11. Показать, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить этот интеграл.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона эллипсоида .

Вариант 13 (Яковлев)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, определяемой неравенством .

  3. Определить центр тяжести однородной плоской пластинки, ограниченной линиями:

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти объем тела, определяемого неравенствами .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по дуге L окружности , расположенной в первой координатной четверти.

  9. Найти центр тяжести одной арки циклоиды . Считать плотность равной единице

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L - дуга винтовой линии от точки А(1,0,0) до точки В(1,0,1).

  11. Найти функцию по ее полному дифференциалу .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона поверхности верхней полусферы .

Вариант 14 (Потапова)


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по квадрату D: .

  3. Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением: .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти центр тяжести однородного полушара .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L – дуга параболы .

  9. Определить центр тяжести дуги астроиды , лежащей во второй четверти , плотность считать равной 2.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L - отрезок прямой от точки А(0,0) до точки В .

  11. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона поверхности .

Вариант 15 (Пономарева)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Определить центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями: .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить интеграл .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти массу шара , если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от начала координат.

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L –дуга окружности .

  9. Вычислить статический момент относительно координатных осей прямоугольного отрезка СД соединяющего точки (1,2) и (2,3). Плотность в каждой точке отрезка равно произведению координат этой точки.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга кривой при .

  11. Вычислить работу, производимую силой при перемещении материальной точки из А(1,2) в В(2,1) по прямой, соединяющей эти точки.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона конической поверхности .

Вариант 16 (Ермакович)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Определить массу пластинки, ограниченной линиями: при заданной плотности .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить интеграл .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L –дуга кривой .

  9. Найти массу кубической параболы от точки до , если в каждой точке кривой плотность равна квадрату ее абсциссы.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – отрезок прямой от точки А(1,2) до точки В(2,8).

  11. Найти работу, производимую силой вдоль кубической параболы от точки А(0,0) до точки В(2,8).

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – положительная сторона куба, составленного плоскостями .

Вариант 17 (Мельник)


  1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

  3. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями: .

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить интеграл .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями .

  7. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями с помощью тройного интеграла.

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L –дуга кривой .

  9. Найти массу участка кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга астроиды от точки А(а,0) до точки В(0,а).

  11. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по окружности пробегаемой так, что ее внутренность остается слева.

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – положительная сторона нижней половины сферы .

Вариант 18


  1. Изменить порядок интегрирования .

  2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линией .

  3. Найти моменты инерции прямоугольника относительно его основания (a) и высоты (h).

  4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

  5. Вычислить интеграл .

  6. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями .

  7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями .

  8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L – дуга кубической параболы .

  9. Найти массу кривой на участке от до считая, что в каждой точке плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

  10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – отрезок прямой от точки А(1,0,2) до точки В (2,-1,0).

  11. Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить интеграл .

  12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

  13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где S – внешняя сторона эллипсоида .

Похожие:

Пермский государственный технический университет iconУльяновский государственный технический университет
Ульяновский государственный технический университет в период с января по апрель 2012 года проводит интеллектуальный конкурс «Формула...
Пермский государственный технический университет iconТехнический Университет «мами»
Федеральное агентство по образованию РФ московский Государственный Технический Университет
Пермский государственный технический университет iconТехнический университет
Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет)
Пермский государственный технический университет iconКрасноярский государственный технический университет сибирский государственный...
Методы нейроинформатики / Под ред. А. Н. Горбаня; отв за выпуск М. Г. Доррер. Кгту, Красноярск, 1998. 205 с
Пермский государственный технический университет iconСоциологи я планы и программа практических занятий на 2007/2008 учебный год Пермь, 2007
Социология: Планы и программа практических занятий на 2006/07 учебный год / Составители: В. Д. Разинская, О. В. Борисова, О. С. Беляева,...
Пермский государственный технический университет iconВолгоградский государственный технический университет (вгту) Автотракторный факультет

Пермский государственный технический университет iconВысшего и профессионального образования липецкий государственный технический университет

Пермский государственный технический университет iconУчебное пособие москва 2006 федеральное агентство по образованию...
А. С., Мурашова В. Г., Семенова Т. Н., Смирнов В. В., Тихонова С. В. Социология: Учебное пособие / Государственное образовательное...
Пермский государственный технический университет iconРаботы филиала федерального государственного бюджетного образовательного...
«Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева» в г. Белово за 2011-2012 учебный год
Пермский государственный технический университет iconРейтинг вузов России
Московский государственный технический университет им. H. Э. Баумана Москва [472691]
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
pochit.ru
Главная страница