Двоичная система счисления




Скачать 172,11 Kb.
НазваниеДвоичная система счисления
Дата публикации29.07.2013
Размер172,11 Kb.
ТипДокументы
pochit.ru > Информатика > Документы
Двоичная система счисления
Система счисленияэто способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Количество (P) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P-1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд вида:

AP = am-1Pm-1+am-2Pm-2+…+a1P1+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+…+a-sP-s, (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

  • AP – само число;

  • положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов);

  • отрицательные значения – для дробной части числа (s разрядов).

Пример. Позиционная система счисления – арабская десятичная система, в которой: основание P=10, для изображения чисел используются 10 цифр (от 0 до 9). Непозиционная система счисления – римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, CXXVII и т. п.).

Максимальное число, которое может быть представлено в m разрядах:

Nmax=Pm-1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

Nmin=P-s.

Имея в целой части числа m, а в дробной s разрядов, можно записать всего Pm+s различных чисел.

Двоичная система счисления имеет основание P=2 и использует для представления информации всего две цифры 0 и 1.

В этом случае формула (1) примет вид:

A2 = am-12m-1+am-22m-2+…+a121+a020+a-12-1+a-22-2+…+a-s2-s

Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов – самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Так, чтобы перевести десятичное число в двоичное необходимо десятичное число делить на основание двоичной системы счисления, то есть на 2 с остатком до тех пор пока частное от деления не будет равно единице, полученные же остатки, записанные справа налево с единицей на первом месте (последнее частное) образуют искомое двоичное число.

^ Пример. 12510 = 11111012

125:2=62 (ост 1)

6
Цифры, выделенные жирным шрифтом, записанные в обратном порядке относительно их получения образуют искомое двоичное число
2:2=31 (ост 0)

31:2=15 (ост 1)

15:2=7 (ост 1)

7:2=3 (ост 1)

3:2=1 (ост 1)



При переводе десятичных чисел с дробной частью в двоичную систему счисления отдельно переводят целую часть делением, как уже было рассмотрено, а дробную – умножением. Для этого дробную часть десятичного числа умножают на 2, а также умножают на 2 полученные в результате дробные части до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. Дробную часть искомого двоичного числа составляют из целых частей произведений.

Пример. 17,2510=1000,012

Переводим целую часть: Переводим дробную часть:

17:2=8 (ост 1) 0, 25

8:2=4 (ост 0) ×2

4:2=2 (ост 0) 0 50

2:2=1 (ост 0) ×2



1 00


При выполнении обратного перевода двоичного числа в десятичное используют правила основанные на соотношении (1)

Пример. 101110,1012=46,62510

101110,1012=1·25+0·24+1·23+1·22+1·21+0·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3=46,62510

Существует особая связь двоичной системы счисления с восьмеричной и шестнадцатеричной. Рассмотрим таблицу соответствия первым шестнадцати натуральным числам их двоичного представления и соответствующих этим представлениям двоичных триад и двоичных тетрад.


A10

A2

A8

Триада

A16

Тетрада

0

0

0

000

0

0000

1

1

1

001

1

0001

2

10

2

010

2

0010

3

11

3

011

3

0011

4

100

4

100

4

0100

5

101

5

101

5

0101

6

110

6

110

6

0110

7

111

7

111

7

0111

8

1000







8

1000

9

1001







9

1001

10

1010







A

1010

11

1011







B

1011

12

1100







C

1100

13

1101







D

1101

14

1110







E

1110

15

1111







F

1111


Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующей двоичной триадой или наоборот, при обратном переводе. Соответственно для шестнадцатеричных чисел используют двоичные тетрады.

Пример. 2578=010  101 111 =101011112 A4D16=1010010011012


2

5

7

A

4

D

1011110012=5718 11101011102=3AE16

Как известно, современные компьютеры состоят из электронных схем, которые могут находиться в одном из двух состояний, определяемых протеканием электрического тока. Состояние электронной схемы, в которой протекает электрический ток, условно кодируется 1, а в противоположное состояние – 0. Можно кодировать состояние электронной схемы по уровню напряжения на ее входах или выходах: высокий уровень напряжения – 1, низкий –0. Таким образом, для представления цифр, букв, символов в ЭВМ достаточно договориться о способе их кодирования, и он будет определять состояние соответствующей электронной схемы.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

  • естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

  • нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной. Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях

Пример. Диапазон значащих чисел (^ N) в системе счисления с основанием P при наличии m разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака) будет

P-s ≤ N ≤ Pm-P-s

При P=2, m=10 и s=6: 0,015 ≤ N ≤ 1024
Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа называется мантиссой, вторая – порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок – целым числом. В общем виде в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N=±MP±r,

где M – мантисса числа (׀M׀<1);

r – порядок числа (r – целое число);

P – основание системы счисления.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

Пример. Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием P при наличии m разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы) будет:

P-mP-(P -1) ≤ N ≤ (1-P-m)P(P -1)

При P=2, m=10 и s=6 диапазон чисел простирается примерно от 10-19 до 1019.
Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак «+», код 1 – знак «-».
^ Варианты представления информации в ПК

Вся информация (данные) представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов. Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ.


Количество двоичных разрядов в группе

1

8

16

8·1024

8·10242

8·10243

8·10244

Наименование единицы измерения

Бит

Байт

Параграф

Килобайт

(Кбайт)

Мегабайт

(Мбайт)

Гигабайт

(Гбайт)

Терабайт

(Тбайт)



^ Арифметические операции над двоичными числами

Сложение двоичных чисел. Для непосредственного сложения двоичных чисел используют таблицу сложения, которая выглядит следующим образом:


+

0

1

0

0

1

1

1

10


Пример. 110112+11112=1010102 1111102+111112=10111012




1

1

0

1

1







1

1

1

1

1

0

1

0

1

0




1

1

1

1

1

0







1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

+

+

Умножение двоичных чисел. Для непосредственного умножения двоичных чисел используют таблицу умножения, которая имеет вид:


×

0

1

0

0

1

1

1

1



Пример. 11012×112=1001112 110112×1112=101111012












×



1

1

0

1



















1

1













1

1

0

1










1

1

0

1










1

0

0

1

1

1




























































































































































×



1

1

0

1

1
















1

1

1










1

1

0

1

1







1

1

0

1

1







1

1

0

1

1







1

0

1

1

1

1

0

1


Вычитание двоичных чисел. При непосредственном вычитании двоичных чисел важно помнить, что в ситуации, когда надо от 0 отнять 1, необходимо занять двоичный десяток в старшем разряде.

П
-
ример
. 111012-1112=101102 11002-1012=1112


1

1

1

0

1







1

1

1

1

0

1

1

0




1

1

0

0







1

0

1







1

1

1



-

Деление двоичных чисел. Деление двоичных чисел, как и умножение, выполняется в прямом коде по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.


110010

1010

1010

101

001010




1010




0000



П

ример
. 1100102׃10102=1012





^ При выполнении арифметических операций в компьютере применяются прямой, обратный и дополнительный коды: прямой при умножении и делении; обратный – при замене вычитания сложением; дополнительный – при сложении положительных и отрицательных чисел.

Прямой код двоичного числа – это само двоичное число, причем значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных 1.

^ Пример. Для числа +0,1101 прямой код 0,1101, для числа –0,1101 прямой код 1,1101

Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа все цифры заменяются на противоположные значения. Знак числа остается прежним.

^ Пример. Для числа +0,1101 обратный код 0,0010 для числа –0,1101 обратный код 1,0010

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа образуется как результат суммирования обратного кода с единицей младшего разряда.

Пример. Для числа +0,1101 дополнительный код 0,1101, для числа –0,1101 дополнительный код 1,0011

После выполнения арифметических действий дополнительный и обратный коды отрицательных чисел преобразуются в прямой код. Обратный код преобразуется заменой всех значащих цифр, кроме знакового, на противоположные цифры. Дополнительный код преобразуется так же, как и обратный код, а затем добавляется единица к младшему разряду.

Пример. Сложение двоичных чисел


Обычная запись

Сложение в дополнительном коде

0,0101

0,0101

0,0110

0,0110

0,1011

0,1011

–0,1110

1,0010

0,0110

0,0110

0,1000

1,1000




результат преобразуется в прямой код




1,0111




1




1,1000

0,1110

0,1110

–0,0110

1,1010

0,1000

10,1000




1 отбрасывается

–0,0101

1,1011

0,0110

1,1010

0,1011

11,0101




1 отбрасывается, преобразование в прямой код




1,1010




1




1,1011


^ Исторические сведения. Впервые идею использования двоичного кодирования в ЭВМ выдвинули сотрудники Высшего технического училища США Джон Мочли и Преспер Эккерт, когда работали над вычислительной машиной «EDVAC». Но по иронии судьбы озвучил эту идею совсем другой человек. Это был венгерский математик Джон фон Нейман, работающий в США и включенный в группу Мочли и Эккерта в конце 1944 года, когда те работали над созданием первой ЭВМ «ENIAC» по заказу военного ведомства. В 1945 году Нейман опубликовал свой знаменитый отчет «Предварительный доклад о машине EDVAC» на 101 странице. В докладе были сформулированы основные принципы работы и устройства компьютера, среди которых принцип двоичного кодирования данных и программ, хранящихся в памяти, который вошел в историю как один из принципов Джона фон Неймана. В 1949 году английский исследователь Морис Уилкс завершил сооружение первого в мире компьютера с хранимой в памяти программой в двоичном коде, т. е. соответствующего принципам Неймана. Машина называлась «EDSAC».

Похожие:

Двоичная система счисления iconВопросы к экзамену по курсу «Информатика» для студентов специальности
Двоичная система счисления. Системы счисления с другим основанием. Примеры выполнения операций в двоичной системе счисления
Двоичная система счисления iconНалиткин А. К. Вопросы по курсу "Информатика: алгоритмические языки и программирование"
Двоичная система счисления. Формы представления целых чисел со знаком и без знака, плавающая точка. Представление текста
Двоичная система счисления iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления....
Основные блоки стандартной конфигурации Персонального Компьютера (ПК) и логическое устройство компьютера. Принцип фон-Нейман
Двоичная система счисления iconТематическое планирование информатике и икт на 2008-2009 учебный год для 10 -Х класс
Представление числовой информации с помощью систем счисления. Переводы чисел в позиционных счисления системах. Арифметические операции...
Двоичная система счисления iconЭлективный курс "Системы счисления и элементы математической логики"...
Цель курса: привить интерес к информатике, изучить позиционные системы счисления,научиться производиться вычисления в компьютере....
Двоичная система счисления icon"Системы счисления", на перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной...
Понятие информации. Виды информации. Роль информации в живой природе и в жизни людей. Язык как способ представления информации: естественные...
Двоичная система счисления icon№1: Системы счисления. Перевод чисел из системы в систему. Арифметические...
В данной брошюре собраны материалы для изучения тем по системам счисления и представлению числовой информации в ЭВМ. Материал подобран...
Двоичная система счисления icon10 класс Тема Компьютер и программное обеспечение
Историю чисел и системы счисления. Количество информации и свойства информации. Позиционные и непозиционных системы счисления
Двоичная система счисления iconПрограмма вступительных испытаний по математике 2013 г
Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий....
Двоичная система счисления iconВ тетради) (слайд). Три числа двоичной системы счисления перевести...
Сегодняшний урок посвящается творчеству великого писателя, драматурга. О ком пойдет сегодня речь, вы узнаете, решив следующее задание...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
pochit.ru
Главная страница